Quiz para o Ano Novo

Este é um quiz um pouco diferente dos outros.

A propósito da resolução do exercício 6.(b) da folha 4, onde se pedia para se exprimir o volume de um sólido como

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através de um integral triplo, pensando em termos de projecção no plano $x0y$ é natural dividir-se o sólido em duas regiões

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de modo a que o integral triplo pedido se exprima como soma de dois integrais triplos, cada um representando o volume de uma das duas regiões acima.

Em termos de cálculo, o mais complicado é o do integral triplo que nos dá o volume da parte que sobra quando se retira o cilindro (sólido) interior. Neste momento não deverão ter problemas em fazer esse cálculo através de uma mudança adequada de coordenadas. No entanto, na altura em que o problema foi colocado, essa ferramenta ainda não estava disponível (ainda não tinha sido dada) e houve um aluno que imaginou a seguinte estratégia para calcular o volume daquela região mais problemática: considerou uma região à volta daquela

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e argumentou que como as secções verticais à volta das duas regiões em conjunto são quadrados em que uma metade pertence ao sólido de dentro e a outra pertence ao sólido de fora

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então bastaria calcular o volume dos dois sólidos em conjunto e dividir por dois para chegar ao valor do volume da tal região. E como os dois sólidos em conjunto formam um cilindro (sólido) sem a parte central — que é outro cilindro (sólido) —, essa conta seria muito fácil de fazer.

Eu argumentei que não é assim tão evidente que tal estratégia dê o resultado correcto, mas não consegui convencê-lo. Neste momento podem fazer o cálculo das duas maneiras: por um lado seguindo a estratégia do vosso colega; por outro lado, fazendo o cálculo do integral triplo (só da região problemática identificada em cima). Mas o que acho mais interessante é saber o que cada um pensa em termos de ser ou não evidente se a abordagem do colega leva ao resultado correcto.

Quem não tem dúvidas que a estratégia do colega tem que conduzir ao resultado correcto, escolha a opção + em baixo; quem acha que não é assim tão evidente, escolha a opção - em baixo. Parto do princípio que não fazem as contas antes de fazerem a escolha: só assim é que o quiz terá valor (qualquer das opções estará correcta se espelhar genuinamente aquilo que cada um pensa). Mas podem sempre fazer as contas depois (é um bom treino para o 2º teste) e acrescentar um comentário a propósito.

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