4 Teoremas fundamentais do cálculo integral
5 Optimização e estudo de funções
5.2 Estudo fino de funções
Pelo teu exemplo, o que queres é o processo de cálculo do plano tangente a um ponto de uma superfície de nível. Vê http://amiii.wikidot.com/3-1-derivadas-e-gradientes-parte-6#toc0.
Como é que se calcula o plano tangente de uma função em R3?
Por exemplo x2+y2+z2=6
Trata-se do ex. 3.(b) da Folha 1 deste sítio.
Penso que o que queres dizer é que é mais fácil obter a equação na forma de $x$ em função de $y$ (e nesse caso diz-se que o $x$ depende de $y$ — em suma, esta é que é mais fácil). Mas repara que isto deverá ser suficiente para resolver o problema do esboço: é só uma questão de olhares para o sistema de eixos coordenados do ponto de vista adequado.
De qualquer modo, se quiseres obter uma equação com $y$ a depender de $x$, começa por resolver $x=t^2+2t$ em ordem a $x$ como se se tratasse de um equação do 2º grau em $t$ (logo interpretando momentaneamente o $x$ como constante e usando a fórmula resolvente).
Tenho uma duvida. Estou a tentar definir uma possivel equação cartesiana e esboçar a mesma a partir das seguintes paramétricas:
r(t) = (t^2 + 2t; t^4 + 1); t € [0; 1]
O meu problema é o seguinte, não consigo criar uma equação com o x dependente de y. Só o contrário. Será que me pude ajudar a resolver esta questão?
As notas do exame de recurso serão afixadas nesta linha (thread) na 3ª-feira, dia 8 de Fevereiro, ao final da tarde.
As provas poderão ser consultadas na 5ª-feira, dia 10 de Fevereiro, das 12:15 às 12:45, na sala 11.2.24.
A afirmação é verdadeira, e foi essa também a escolha dos 14 votantes. Mas há para aí quem ache que continuidade implica diferenciabilidade, por aquilo que vi em testes/minitestes.
Houve 8 votos contra e 5 a favor. A afirmação em si é falsa: a regra de Cauchy aplica-se apenas na presença de (certas) indeterminações, logo não se pode aplicar no segundo limite, o qual dá infinito sem sinal determinado.
Todos acertaram aqui, isto é, a afirmação é falsa.
O balanço desta votação é curioso: 12 a favor e 12 contra. A afirmação em si é verdadeira. A prova poderia ser, usando primeiro a hipótese $\delta < \delta_1$ e depois a hipótese (1),
(1)Como é que metade dos votantes conseguiu errar nesta questão é para mim um mistério insondável (mas claramente aponta para a necessidade de este tipo de raciocínio ser treinado mais cedo no percurso académico).
Apenas um aluno dos 20 que votaram errou: a afirmação está, de facto, errada (a negação da hipótese não garante a negação da tese).
Dos 24 alunos que participaram na votação, apenas 3 acertaram. A afirmação é, na verdade, falsa: o facto de os limites restrito a todas as rectas que passam pelo ponto de acumulação darem um mesmo valor não é garantia de que o limite (globalmente considerado) exista.
Como o interesse dos quizzes se esgota essencialmente amanhã, com o exame de recurso, irei de seguida, no local próprio, proceder a uma indicação sumária do valor lógico de cada um. Apesar de vários não conterem votações em nº suficiente de acordo com o que foi mencionado anteriormente, deste modo pelo menos os alunos que reflectiram sobre eles e fizeram as suas escolhas, poderão comparar com a resposta "oficial" e, se necessário, ajustar a interiorização que fizeram dos conceitos em causa.
Isso está explicado em http://amiii.wikidot.com/2-3-integrais-curvilineos-parte-3, que inclui também um exemplo.
Podia dizer-me como se resolvem exercícios como o 7 e o 8 onde não temos um ds mas sim dx, dy e dz?
Obrigada.
Os alunos devem concentrar-se junto à sala 12.1.1.
Estarei no departamento na 2ª-feira, dia 31, das 14:00 até às 16:30, de modo que poderei tirar dúvidas presencialmente a alunos das TP1 e TP2 dentro desse horário. Poderei estender o horário mediante marcação prévia por e-mail por parte dos interessados. Se se conseguirem organizar de modo a não aparecerem individualmente, melhor, especialmente quando houver dúvidas comuns.
Boa noite professor,
Obrigado por me ter respondido e daqui em frente sempre que me surgir alguma duvida ja a saberei como a colocar, e sim nao me exprimi da melhor forma, queria designar por V o valor que me tinha dado para o integral de superficie, nao foi a notaçao mais brilhante realmente!
Ok professor obrigado por tudo e resto de boa noite,
Cumprimentos.
Boa tarde professor,
Gostaria de saber se, nesta pergunta, estou correcto ao não usar nenhuma mudança de coordenadas, pois usando apenas os limites de 0 a 1, para x,y e z, cheguei a um valor ( V = 3). Está correcto?
Caro AlvaSantos,
Primeiro uma questão de forma: fizeste bem em descrever o exercício no título do post; fizeste mal em colocá-lo como resposta a um post sobre outra questão. Para tentar remediar um pouco a situação, estou a responder em 1º nível.
Quanto ao que dizes sobre o exercício, tens (quase) razão: a essência do exercício é o uso do Teorema de Gauss, logo acaba por ser o cálculo do integral triplo da divergência de $F$ sobre o cubo $V$; e daí não haver necessidade de mudança de coordenadas.
Onde erras é novamente num aspecto formal: não é o $V$ que é igual a 3. $V$ é a designação do cubo. Mesmo que, por abuso de notação, quisesses interpretar $V$ como volume do cubo, o seu valor seria 1. O valor 3 que obténs corresponde ao integral de superfície dado no enunciado, embora tivesse sido calculado (via Teorema de Gauss) através de um integral triplo.
