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Re: Sen(t)

acaetano 12 Apr 2014 20:10
in discussion Hidden / Per page discussions » 1.2 Comprimento de arco

Olá,

Penso que há alguma confusão na sua formulação. Pelo que percebi sobre aquilo que esperava que desse, penso que a sua ideia seria calcular o comprimento do gráfico do seno no intervalo $[0,2\pi]$.

Se é essa a questão, a parametrização que interessa usar é $\, t \mapsto (t,\sin t)\,$ no referido intervalo. A parametrição que usou percorreu o segmento $[0,1]$ da esquerda para a direita, depois da direita para a esquerda, e a seguir percorreu o segmento $[-1,0]$ da direita para a esquerda e depois da esquerda para a direita (é a variação do seno em $[0,2\pi]$), e por isso é que dá 4.

Usando a parametrização correta, o integral a calcular é

(1)

\begin{align} \int_0^{2\pi} \sqrt{1+\cos^2t} \; dt. \end{align}

Não creio que seja possível calculá-lo pelas regras habituais de primitivação, mas o seguinte valor aproximado pode ser obtido (por exemplo usando a WolframAlpha): $7,6404$.

Espero ter ajudado!

Sen(t)

Suzugamori Hime 11 Apr 2014 21:35
in discussion Hidden / Per page discussions » 1.2 Comprimento de arco

Boa noite!

Estive tentando resolver uma questão e não consigo sair de um impasse…

A questão é sobre a função f(t):[0,1]->R ; f(t)=sin(t).

Como o seno é continuamente diferenciável (já que o cosseno é contínuo), suponho que poderia fazer:

(1)

\begin{align} \int_{0}^{2\pi} \left \| {sin(t)}' \right \| dt = \int_{0}^{2\pi} \left \| cos(t) \right \| dt = 4 \times \int_{0}^{\pi/2} cos(t) dt = 4 \times sin(t) dt [0,\pi/2] = 4 \times 1 = 4 \end{align}

Eu errei algo?

Bem, se esta conta estiver certa, se nós prestarmos atenção no gráfico, vamos ver que o valor deve ser maior que 4, pois se fosse em linha reta, seria 2pi… (aproximadamente 6)…

Então, você poderia me ajudar? Onde eu errei?

Re: R^3

acaetano 03 Feb 2012 23:33
in discussion Hidden / Per page discussions » 3.1 Derivadas e gradientes - parte 3

Pelo teu exemplo, o que queres é o processo de cálculo do plano tangente a um ponto de uma superfície de nível. Vê http://amiii.wikidot.com/3-1-derivadas-e-gradientes-parte-6#toc0.

R^3

Ian Chong 01 Feb 2012 22:54
in discussion Hidden / Per page discussions » 3.1 Derivadas e gradientes - parte 3

Como é que se calcula o plano tangente de uma função em R³?
Por exemplo x²+y²+z²=6

Re: Espero que esta secção seja apropriada...

acaetano 26 Jan 2012 20:03
in discussion Hidden / Per page discussions » 1 Curvas

Trata-se do ex. 3.(b) da Folha 1 deste sítio.

Penso que o que queres dizer é que é mais fácil obter a equação na forma de $x$ em função de $y$ (e nesse caso diz-se que o $x$ depende de $y$ — em suma, esta é que é mais fácil). Mas repara que isto deverá ser suficiente para resolver o problema do esboço: é só uma questão de olhares para o sistema de eixos coordenados do ponto de vista adequado.

De qualquer modo, se quiseres obter uma equação com $y$ a depender de $x$, começa por resolver $x=t^2+2t$ em ordem a $t$ como se se tratasse de um equação do 2º grau em $t$ (logo interpretando momentaneamente o $x$ como constante e usando a fórmula resolvente).

Espero que esta secção seja apropriada...

Ricardo Miguel 26 Jan 2012 13:39
in discussion Hidden / Per page discussions » 1 Curvas

Tenho uma duvida. Estou a tentar definir uma possivel equação cartesiana e esboçar a mesma a partir das seguintes paramétricas:

r(t) = (t^2 + 2t; t^4 + 1); t € [0; 1]

O meu problema é o seguinte, não consigo criar uma equação com o x dependente de y. Só o contrário. Será que me pude ajudar a resolver esta questão?

notas do exame de época especial

acaetano 07 Sep 2011 23:16
in discussion Avisos e material vário / AVISOS » notas do exame de época especial

classificações ordenadas por nº mecanográfico

acaetano 08 Feb 2011 16:49
in discussion Avisos e material vário / AVISOS » notas do exame de recurso

notas do exame de recurso

acaetano 08 Feb 2011 10:19
in discussion Avisos e material vário / AVISOS » notas do exame de recurso

As notas do exame de recurso serão afixadas nesta linha (thread) na 3ª-feira, dia 8 de Fevereiro, ao final da tarde.

As provas poderão ser consultadas na 5ª-feira, dia 10 de Fevereiro, das 12:15 às 12:45, na sala 11.2.24.

Solução

acaetano 01 Feb 2011 19:52
in discussion Hidden / Per page discussions » Quiz11

A afirmação é verdadeira, e foi essa também a escolha dos 14 votantes. Mas há para aí quem ache que continuidade implica diferenciabilidade, por aquilo que vi em testes/minitestes.

Solução

acaetano 01 Feb 2011 19:46
in discussion Hidden / Per page discussions » Quiz10

Houve 8 votos contra e 5 a favor. A afirmação em si é falsa: a regra de Cauchy aplica-se apenas na presença de (certas) indeterminações, logo não se pode aplicar no segundo limite, o qual dá infinito sem sinal determinado.

Solução

acaetano 01 Feb 2011 19:41
in discussion Hidden / Per page discussions » Quiz9

Todos acertaram aqui, isto é, a afirmação é falsa.

Solução

acaetano 01 Feb 2011 19:37
in discussion Hidden / Per page discussions » Quiz7

O balanço desta votação é curioso: 12 a favor e 12 contra. A afirmação em si é verdadeira. A prova poderia ser, usando primeiro a hipótese $\delta < \delta_1$ e depois a hipótese (1),

(1)

\begin{align} \| x-a \| < \delta \Rightarrow \| x-a \| < \delta_1 \Rightarrow \| f(x) - b \| < \varepsilon. \end{align}

Como é que metade dos votantes conseguiu errar nesta questão é para mim um mistério insondável (mas claramente aponta para a necessidade de este tipo de raciocínio ser treinado mais cedo no percurso académico).

Solução

acaetano 01 Feb 2011 19:27
in discussion Hidden / Per page discussions » Quiz6

Apenas um aluno dos 20 que votaram errou: a afirmação está, de facto, errada (a negação da hipótese não garante a negação da tese).

Solução

acaetano 01 Feb 2011 19:24
in discussion Hidden / Per page discussions » Quiz5

Dos 24 alunos que participaram na votação, apenas 3 acertaram. A afirmação é, na verdade, falsa: o facto de os limites restrito a todas as rectas que passam pelo ponto de acumulação darem um mesmo valor não é garantia de que o limite (globalmente considerado) exista.

Re: quizzes

acaetano 01 Feb 2011 19:18
in discussion Avisos e material vário / AVISOS » quizzes

Como o interesse dos quizzes se esgota essencialmente amanhã, com o exame de recurso, irei de seguida, no local próprio, proceder a uma indicação sumária do valor lógico de cada um. Apesar de vários não conterem votações em nº suficiente de acordo com o que foi mencionado anteriormente, deste modo pelo menos os alunos que reflectiram sobre eles e fizeram as suas escolhas, poderão comparar com a resposta "oficial" e, se necessário, ajustar a interiorização que fizeram dos conceitos em causa.

Re: ex. 7 e 8, folha 5

acaetano 01 Feb 2011 18:55
in discussion Avisos e material vário / FOLHAS PRÁTICAS » folha 5

Isso está explicado em http://amiii.wikidot.com/2-3-integrais-curvilineos-parte-3, que inclui também um exemplo.

Re: ex. 7 e 8, folha 5

Diana Rodrigues 01 Feb 2011 12:27
in discussion Avisos e material vário / FOLHAS PRÁTICAS » folha 5

Podia dizer-me como se resolvem exercícios como o 7 e o 8 onde não temos um ds mas sim dx, dy e dz?
Obrigada.

ponto de encontro para o exame de recurso

acaetano 30 Jan 2011 13:35
in discussion Avisos e material vário / AVISOS » Sobre o exame de recurso

Os alunos devem concentrar-se junto à sala 12.1.1.

última sessão para tirar dúvidas

acaetano 29 Jan 2011 14:28
in discussion Avisos e material vário / AVISOS » tirar dúvidas e outros assuntos

Estarei no departamento na 2ª-feira, dia 31, das 14:00 até às 16:30, de modo que poderei tirar dúvidas presencialmente a alunos das TP1 e TP2 dentro desse horário. Poderei estender o horário mediante marcação prévia por e-mail por parte dos interessados. Se se conseguirem organizar de modo a não aparecerem individualmente, melhor, especialmente quando houver dúvidas comuns.

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