Fixe-se $a \in D$ e considere-se
(1)
\begin{align} f : \begin{array}[t]{rcl} D & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \int_{r_x} F \cdot dr_x, \end{array} \end{align}
onde $r_x$ é um qualquer caminho seccionalmente suave que une $a$ a $x$ (por esta ordem). Esta função está bem definida.
Seja $k \in \{ 1, \ldots, n \}$ e $x_0 \in D$. Queremos provar que $\frac{\partial f}{\partial x_k}(x_0) = F_k(x_0)$.
Seja $e_k = (\delta_{kj})_{j=1}^n$. Tem-se que
(2)
\begin{align} \frac{\partial f}{\partial x_k}(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+he_k)-f(x_0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{s_h} F \cdot ds_h}{h}, \end{align}
onde
(3)
\begin{align} s_h : \begin{array}[t]{rcl} [0,1] & \longrightarrow & \mathbb{R}^n \\ t & \longmapsto & x_0+the_k \end{array} \end{align}
parametriza o segmento que une $x_0$ a $x_0+he_k$. Continuando,
(4)
\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x_k}(x_0) & = & \lim_{h \to 0} \int_0^1 F(x_0+the_k) \cdot e_k \, dt \\ & = & \lim_{h \to 0} \int_0^1 F_k(x_0+the_k) \, dt \\ & = & \lim_{h \to 0} \frac{\int_0^h F_k(x_0+ue_k) \, du - \int_0^0 F_k(x_0+ue_k) \, du}{h} \\ & = & F_k(x_0). \end{eqnarray}
