No caso de $r$ suave,
(1)
\begin{align} \int_r \nabla f \cdot dr = \int_a^b \nabla f(r(t)) \cdot r'(t) \, dt = \int_a^b (f \circ r)'(t) \, dt = f(r(b))-f(r(a)). \end{align}
No caso de $r$ seccionalmente suave, existe uma partição $\{ a=t_0, \ldots, t_m=b\}$ de $[a,b]$ tal que $r$ é continuamente diferenciável em $]t_{j-1},t_j[, \, \forall j \in \{ 1, \ldots, m \}$, e existem e são finitos os limites laterais $r'(t_{j-1}+)$ e $r'(t_j-)$.
Então
(2)
\begin{align} \int_{r|_{[t_{j-1},t_j]}} \nabla f \cdot dr = f(r(t_j)) - f(r(t_{j-1})), \; \forall j \in \{ 1, \ldots, m \}. \end{align}
Conclua!
