Problema 2 para o 2º teste
Sejam $g : A \subset \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ de classe $C^1$ no aberto $A$ e $(x_0,y_0,z_0)$ pertencente à superfície de nível $k \in \mathbb{R}$ de $g$. Designe-se por $S$ tal superfície e suponha-se que $g'_z(x_0,y_0,z_0) \not= 0$. O chamado Teorema da função implícita garante que existe uma vizinhança $U \subset \mathbb{R}^2$ de $(x_0,y_0)$ e uma função $f : U \to \mathbb{R}$ de classe $C^1$ tais que
(i) $f(x_0,y_0)=z_0$;
(ii) o gráfico de $f$ está contido em $S$;
(iii) $f'_x = - g'_x/g'_z, \; f'_y = - g'_y/g'_z$.
Mostre que, dado um qualquer vector pertencente ao plano tangente a $S$ em $(x_0,y_0,z_0)$, existe um caminho em $S$ que passa por $(x_0,y_0,z_0)$ e cujo vector velocidade nesse ponto coincide com o vector dado.