Problema 1 para o 2º teste

Summary:

este é um dos resultados cuja prova pode ser pedida no 2º teste; no esquema de resolução apresentado em baixo podem faltar frases antes da primeira, depois da última e entre as que se apresentam, para além de várias destas poderem necessitar de justificação; além disso, algumas das frases pedem-lhe que concretize uma determinada tarefa

Problema 1 para o 2º teste

acaetano 14 Dec 2010 17:12

1. Prove o Teorema do valor médio para campos escalares:

Seja $f:D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ contínua no segmento $\boldsymbol{[} a,b \boldsymbol{]} := \{ a+t(b-a) : t \in [0,1] \} \subset D$ e diferenciável em $\boldsymbol{]} a,b \boldsymbol{[} := \boldsymbol{[} a,b \boldsymbol{]} \setminus \{ a,b \}$. Então existe $c \in \boldsymbol{]} a,b \boldsymbol{[}$ tal que

(1)

\begin{align} f(b)-f(a) = \nabla f(c) \cdot (b-a). \end{align}

2. Seja $f:D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ diferenciável, onde $D$ é um aberto convexo (i.e., um aberto tal que $\forall a,b \in D, \boldsymbol{[} a,b \boldsymbol{]} \subset D$). Mostre que se as derivadas parciais de 1ª ordem de $f$ forem nulas em todos os pontos de $D$, então $f$ é uma função constante.

Esquema de resolução

acaetano 14 Dec 2010 17:14

1. Definindo $g: [0,1] \to \mathbb{R}$ por $g(t):= f(a+t(b-a)),\, t \in [0,1]$, tem-se que existe $t_0 \in ]0,1[$ tal que

(1)

\begin{align} f(b)-f(a) = g(1)-g(0) = g'(t_0) = \nabla f(a+t_0(b-a)) \cdot (b-a). \end{align}

Conclua!

2. Dados quaisquer dois pontos $a,b \in D$,

(2)

\begin{align} f(b)-f(a) = (0,\ldots,0) \cdot (b-a) = 0. \end{align}

Conclua!

Re: Problema 1 para o 2º teste

franciscoruivo 26 Dec 2010 17:26

Boa tarde professor,
para provar a segunda parte basta dizer que o Teorema do Valor Médio é também aplicável para o caso de a e b no interior do Domínio e depois concluir que f(b) = f(a) <=> função constante?

Re: Problema 1 para o 2º teste

acaetano 27 Dec 2010 23:04

Olá,
O que dizes é pouco. Repara que não estás a usar as hipóteses todas. Em princípio, se as hipóteses foram fornecidas é porque pelo menos devem facilitar a prova. Se for possível provar sem todas as hipóteses, então as que não foram usadas não são necessárias. Mas… tens a certeza que é o caso?