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Exercício 6.b),
Se não quizer usar o Teorema de Gauss tenho de encontar duas parametrizações para a superfície S, uma delas para o cone (sem a base) e outra para a base do cone dada por um círculo de centro (0,0,2) e raio 4, certo?
Não exactamente. Repara que escrever
(1)\begin{align} z=\sqrt{x^2+y^2} \leq 2 \end{align}
é equivalente a escrever
(2)\begin{align} z=\sqrt{x^2+y^2} \; \wedge \; z \leq 2. \end{align}
Tratando-se de uma conjunção das duas condições, quando estás na cota 2 continuas subordinado à primeira condição, logo a base do cone não faz parte da figura.
Se quisesses usar o Teorema de Gauss, terias depois que descontar o valor do integral de superfície correspondente à base do cone (que, já agora, é um círculo de raio 2, e não 4).
Ainda nesse exercício, é pedido que o fluxo do campo vectorial atravesse a superfície S no sentido do interior para o exterior. Eu usei a parametrização:
$(r,\Theta)\mapsto (rcos\Theta ,rsen\Theta,r)$
Quando faço o produto vectorial obtenho:
$\frac{\partial S}{\partial r}\times \frac{\partial S}{\partial \theta }=(-rcos\; \theta,-rsen\; \theta,r)$
Posso concluir que o versor $\hat{n}$ aponta como o desejado, devido à coordenada em $z$ ser $r$ (positiva) ?
Se não fizeste uma figura, convém que a faças. A posição do cone é como a do cone de um gelado quando se está a comer este, logo com a base para cima. Se, na superfície, desenhares dois vectores normais em sentidos opostos, aquele que tem a coordenada positiva em $z$ aponta para o gelado, ou seja, para o interior do cone. Logo não é esse que pretendes, pois pedem-te para calculares o fluxo que vai para fora.
Então, uma vez que o versor n tem de apontar para fora, então temos de escolher outra parametrização para a superfície dada de m odo a que a cota do vector do produto vectorial em causa seja negativa, certo? Neste caso então bastaria escolher a mesma parametrização referida pelo meu colega mas em que a cota da mesma é negativa, mas de mesmo valor absoluto, é isto? Caso esteja errado agradecia que indicasse uma possível parametrização.
Não percebi bem a tua sugestão, mas se é para a 3ª componente da parametrização ficar negativa, não funciona, pois o cone dado tem todas as cotas não negativas, logo essa modificação de certeza que não parametrizaria esse cone.
Basicamente há duas maneiras de resolver o problema:
Uma delas é trocar a ordem das variáveis na parametrização, ficando com
(1)\begin{align} (\theta,r) \mapsto (r \cos \theta, r \sin \theta, r). \end{align}
Isto parece ridiculamente simples, mas repara que como o vector normal em causa se calcula através do determinante de uma matriz, e como trocar as variáveis vai ter como consequência uma troca de duas linhas nessa matriz, por um conhecido resultado de Álgebra Linear o sinal no final aparecerá trocado, ou seja, obténs um vector normal com sentido contrário ao que tinhas inicialmente, que é o que pretendias.
A outra possibilidade, e uma vez que se sabe (como se acabou de explicar), que há sempre maneira de construir uma parametrização em que o vector normal venha com o sentido que se pretende, é manter a parametrização original mas multiplicar por $-1$ o integral que te calcula o fluxo com essa parametrização original.
Viva!
Eu estive a tentar escrever o volume do sólido obtido no exercício 2.a da folha 8 e cheguei à seguinte expressão em coordenadas catesianas:
V = $\int_{-3}^{3}\int_{-\sqrt{9-x^{2}}}^{\sqrt{9-x^{2}}}\int_{-18+2x^{2}+2y^{2}}^{9-x^{2}-y^{2}}1dzdydx$
Depois tentei fazer o mesmo exercício usando coordenadas cilíndricas (através da parametrização : $(r,\Theta)\mapsto (rcos\Theta ,rsen\Theta,z)$, com $\Theta \in [0,2\pi ]$, $r \in [0,3]$ e $z \in[-18,9]$ )
e obtive
V = $\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{3}\int_{-18+2r^{2}}^{9-r^{2}}1dzdrd\Theta$
mas tenho dúvidas uma vez que os limites de integração em $r$ e $\Theta$ formam um rectãngulo. Não sei se é suposto isso acontecer.
Olá,
A expressão para o volume em coordenadas cartesianas está bem. Já no caso de coordenadas cilíndricas está mal. São aí cometidos dois erros:
1. A interpretação geométrica do volume de um sólido como sendo o integral triplo da função 1 sobre a região ocupada pelo sólido baseia-se na construção/definição do integral triplo, onde o contexto é cartesiano. Analogamente para a interpretação geométrica da área de uma superfície plana como sendo o integral duplo da função 1 sobre a região plana ocupada pela superfície. Assim, por exemplo, embora um círculo unitário centrado na origem (no plano cartesiano) se descreva em coordenadas polares através do rectângulo (em coordenadas polares) $[0,2\pi] \times [0,1]$, a sua área (que é $\pi$) é diferente de $\int_{[0,2\pi]} \int_{[0,1]} 1 \, dr\, d\theta$, que dá $2\pi$ (i.e., a área daquele rectângulo no plano polar).
Recorda, a este propósito, que a fórmula para o cálculo da área de uma superfície (parametrizada) entra com o factor $\| \frac{\partial r}{\partial u} \times \frac{\partial r}{\partial v} \|$, o qual depende da parametrização $r$ escolhida para a superfície.
Em suma, é necessário especial cuidado com interpretações geométricas: se foram feitas com base em coordenadas cartesianas, não se pode extrapolar que fórmulas idênticas valham com descrições a partir de outros sistemas de coordenadas.
Voltando ao problema em discussão, se pretenderes uma expressão para o volume em causa através de coordenadas cilíndricas, o que tens a fazer é uma mudança para variáveis cilíndricas na expressão que obtiveste usando coordenadas cartesianas.
2. O segundo erro que cometes é na descrição do sólido em coordenadas cilíndricas: a variação do $z$ depende da variação do $r$; ou, se preferires olhar de maneira diferente, a variação do $r$ depende da variação do $z$. Consulta, a este propósito, a discussão em http://amiii.wikidot.com/forum/t-283852/folha-8#post-964420.
Para o problema 4 fiz o seguinte:
Expressar o domínio em coordenadas esféricas:
$\sqrt{r} \leq \rho \leq \sqrt{R}$
$0 \leq \theta \leq 2\pi$
$0 \leq \varphi \leq \pi$
Depois a escrever a integração é que tenho dúvidas. Será assim?
$\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{\sqrt{r}}^{\sqrt{R}}\rho^2 \rho^2sin(\varphi)\, d\rho \, d\theta\, d\varphi$
Sendo que o primeiro $\rho^2$ vem da parametrização de $f(x,y,z)$.
Referes-te ao 4.(a) (da folha 9) (onde subentendes, e bem, que $r$ e $R$ são não negativos).
Expressar o domínio em coordenadas esféricas:
$\sqrt{r} \leq \rho \leq \sqrt{R}$
$0 \leq \theta \leq 2\pi$
$0 \leq \varphi \leq \pi$
A variação do $\varphi$ devia ser de 0 a $\pi/2$, por causa da restrição $z \geq 0$.
Depois a escrever a integração é que tenho dúvidas. Será assim?
$\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{\sqrt{r}}^{\sqrt{R}}\rho^2 \rho^2sin(\varphi)\, d\rho \, d\theta\, d\varphi$
Sendo que o primeiro $\rho^2$ vem da parametrização de $f(x,y,z)$.
Para além da correcção à variação do $\varphi$, decorrente da minha observação anterior, a parte que corresponde ao $f(x,y,z)$ também não está bem, pois $f(x,y,z) = x^2+y^2 = \rho^2 \sin^2 \varphi$.
Boas, é suposto o resultado do exercício 5 ser 0? Só consigo fazer o exercício se usar as coordenadas cartesianas, tentei fazer uma mudança para cilíndricas mas não consegui retirar nada dai…
Olá,
Acabei de conferir e dá zero, de facto. Aproveitar as coordenadas cartesianas para a parametrização é boa ideia neste caso (cf. minha resposta http://amiii.wikidot.com/forum/t-283852/folha-8#post-964548 a questão relacionada).
/forum/t-286809/folha-9#post-