boas tardes,
Para a pergunta 1b) não estou a ver muito bem como posso introduzir as limitações necessárias para descrever a figura em coordenadas polares.
Se pudesse dar umas dicas seria óptimo…
Cumprimentos
Um dos processos é fazer as substituições
(1)nas condições dadas $y \leq x \, \wedge \, x^2+(y-1)^2 \leq 1$, considerando $r \geq 0$ e, por exemplo, $\theta \in [0,2\pi]$, e simplificar. Se souberes trabalhar com os operadores conjunção e disjunção, após algum trabalho consegue-se, neste exercício em particular, chegar a
(2)e portanto, em termos mais simples,
(3)
Nalguns exercícios esta poderá ser a via mais simples, mas não creio que o seja no presente exercício, pois é muito fácil esquecermo-nos de certas restrições no processo de dedução.
Outra via é fazer o esboço de $D$ directamente a partir das coordenadas cartesianas (ver região a cinzento na figura ao lado) e depois obter a descrição em coordenadas polares a partir da figura, tendo em mente o que é que o $r$ e o $\theta$ significam. Observando a figura torna-se claro que, para obter uma tal descrição, o ângulo $\theta$ deve varrer as amplitudes de 0 a $\pi/4$; no entanto, para cada $\theta$ fixo, as distâncias dos pontos da região a cinzento à origem variam entre 0 e um valor que corresponde à intersecção com a circunferência, ou seja, para cada tal $\theta$, o valor máximo de $r$ corresponde a um ponto que está sobre a circunferência dada, em coordenadas cartesianas, por $x^2+(y-1)^2 = 1$. Substituindo pelas coordenadas polares (usando (1) em cima), obtém-se (excluindo a solução $r=0$, que nos dá a outra intersecção com a circunferência)
(4)Juntando tudo, chegamos, por esta via, portanto também à solução (3).
Assim, fica esta resolução explicada com algum pormenor, indicando-se, simultaneamente, dois métodos de aplicação geral (aplicáveis também quando são outros tipos de coordenadas que estão envolvidas). Por vezes a melhor maneira de chegar à solução é misturar o uso dos dois métodos, aproveitando o que de mais simples se obtém a partir de cada um deles.
boa tarde….
Na questão 5 depois de obtermos a parametrização como podemos obter o domínio??
Cumprimentos…
A propósito da questão 5, reparei que a alínea (a) não está bem formulada: mesmo referindo-se a expressão "interior ao cone" à zona do espaço acima do cone (e não ao interior topológico — e portanto deveria, no mínimo, a palavra "interior" estar escrita em itálico, como na alínea (b)), a verdade é que desse modo se obtém uma superfície ilimitada com área infinita. Assim, o que tem interesse nessa alínea é considerar a parte da superfície parabólica dada "exterior ao cone".
Quanto à tua pergunta, é difícil dar uma resposta genérica. Depende da parametrização. O que posso dizer de genérico é que é aconselhável ter primeiro uma ideia da localização da porção de superfície que se pretende considerar (fazendo um esboço, por exemplo). Depois, dependendo da parametrização escolhida, os parâmetros devem restringir-se (com isto obtendo-se o domínio) de modo a que a parametrização descreva exactamente a porção que pretendes da superfície.
Por exemplo, no caso de se poderem usar as variáveis $x$ e $y$ como parâmetros (é o caso da alínea (a), já agora com a modificação que referi em cima), após determinares a porção de superfície em causa, só precisas de projectar no plano $x0y$ para obteres o domínio. Mas, por exemplo, se em vez de $x$ e $y$ quiseres usar as coordenadas polares $r$ e $\theta$ como parâmetros, então o domínio da parametrização será obtido pela descrição da projecção anterior em coordenadas polares (algo que se faz como nas alíneas do ex. 1 desta folha).
Mas atenção: nem sempre se consegue reduzir a questão da determinação do domínio a uma descrição de uma projecção. Tal como referi dois parágrafos mais acima, tudo depende da parametrização que estiver a ser usada.
Ainda sobre a questão 5. Alinha b). Não estou a conseguir perceber qual é a superficie, em particular na parte do cilindro. O raio do cilindro está dependente de y?
O raio do cilindro não depende de $y$. O que se passa é que a equação do cilindro não está na forma canónica.
Usando o processo de completar o quadrado, tal como feito nalguns exercícios nas aulas, a expressão para o cilindro pode escrever-se (para além da parte $z \geq 0$) como
(1)Em particular, a sua projecção no plano $x0y$ dá uma circunferência com esta mesma equação, que está totalmente dentro da projecção $x^2+y^2 \leq a^2$ da esfera $x^2+y^2+z^2=a^2$ no mesmo plano, sendo tangente à circunferência $x^2+y^2 = a^2$ pelo lado de dentro.
Quando elevas as paredes do cilindro a partir da sua projecção acabas por sair da esfera fazendo um recorte nesta que vai ser a superfície que se pretende.
Novamente a questão 5.b),
Como parametrizo a superfície? Não tenho a certeza de como vou encontrar o domínio D onde a superfície cuja área queremos calcular está definida;temos que restringir analiticamente a superfície dada ao interior do cilindro e encontrar esse domínio D, é isso? Só que não estou a ver como…
Está quase tudo feito nos posts anteriores. No meu último refiro que
Quando elevas as paredes do cilindro a partir da sua projecção acabas por sair da esfera fazendo um recorte nesta que vai ser a superfície que se pretende.
Nesse recorte é possível resolver a equação da superfície esférica (é esta que está em causa, é claro) sem ambiguidades em ordem a $z$ (logo, em função de $x$ e de $y$). Conjuga então com o que eu referi no meu primeiro post sobre esta questão:
(…) no caso de se poderem usar as variáveis $x$ e $y$ como parâmetros (…), após determinares a porção de superfície em causa, só precisas de projectar no plano $x0y$ para obteres o domínio.
boas tardes,
Seria possível colocar aqui uma resolução de um problema relativamente à mudança de coordenadas? É que não consigo mesmo perceber como fazer…
Cumprimentos
Aplicando o exemplo dado ao exercício 2a) temos o seguinte:
ou seja, aplicando mudanças necessárias para as coordenadas cilíndricas temos que r varia de $[\sqrt{(z+18)/2} , \sqrt{-z+9}]$ Ou na definição da variação de r tenho de subdividir pela intersecção das 2 superfícies?
O ângulo $\theta$ varia de $[0,2\pi]$?
Bonita figura, mas má análise. Antes de mais, uma correcção linguística: ou bem que se diz que $\theta$ varia de $0$ a $2 \pi$ ou que $\theta$ varia em $[0,2\pi]$ ou no intervalo $[0,2\pi]$.
Quanto à análise do problema:
Pela tua resposta depreendo que tentas, para cada $\theta$ e $z$, dizer qual a variação do $r$. Repara que, para cada $z$ que fixas, em termos geométricos estás a restringir-te ao conjunto dos pontos do sólido na cota $z$. Desenhei duas possibilidades na figura à direita, para dois possíveis valores de $z$. Cada uma delas é um círculo. Como te sobra a coordenada polar $r$, o que devias então fazer era completar a descrição de cada um desses círculos em coordenadas polares. A variação que indicas para o $\theta$ está bem, mas não a variação para o $r$, na qual usas simultaneamente a informação que vem dos dois parabolóides. Repara como isso não faz sentido: cada um dos círculos tem a ver apenas com um dos parabolóides (tal como ilustrei ao lado) e não com os dois ao mesmo tempo (excepto quando eles se intersectam, mas aí tanto faz usar a informação de um como do outro). É claro que, então, a descrição da variação de $r$ depende de $z$ estar em $[0,9]$ ou em $[-18,0]$.
Parece-me que o erro que cometes é do mesmo género que o que referi na resposta http://amiii.wikidot.com/forum/t-288293/folha-10#post-957686 a um colega teu: ambos fazem confusão entre descrições horizontais e descrições verticais. Se começam por fixar cotas, a partir daí têm que descrever o que se passa horizontalmente.
Se quiseres, na parte final, ter uma descrição do que se passa verticalmente, então, para além do $\theta$, o que deverás fixar inicialmente é o $r$. A partir daí, sim, descreves a variação do $z$ de modo a que vás da superfície inferior até à superfície superior.
Boas tardes…
Para o problema 8 tenho o seguinte:
a)
Parametrização:
$r(x,z)=(x,5-x^2-z^2,z)$
b) Plano tangente: parti da seguinte equação: $\bigtriangledown f(a)\cdot (x-a)=0$. Resultado: $-2x^2-2z^2+2x-y=-4$
c)
$rot\, F \,=(1,0,0)$
$dS=(-2x,-1,-2z)\: dx\: dz$
Tenho dúvidas no vector que aponta do interior para o exterior. Pode ser o vector $(0,-1,0)$?
Olá,
a)
Parametrização:
$r(x,z)=(x,5-x^2-z^2,z)$
É uma parametrização possível, sim, embora falte indicar o domínio.
b) Plano tangente: parti da seguinte equação: $\bigtriangledown f(a)\cdot (x-a)=0$. Resultado: $-2x^2-2z^2+2x-y=-4$
Está claramente errado: a equação cartesiana de um plano tem que ser de 1º grau (logo, em particular, não podem aparecer variáveis ao quadrado).
Por outro lado, para usares a abordagem via $\bigtriangledown f(a)\cdot (x-a)=0$ terás que identificar o $f$ que permite exprimir a superfície dada como superfície de nível. Mas, se não quiseres ir por aí, tens mais duas abordagens possíveis (revê toda a matéria que tenha a ver com cálculo de planos tangentes).
c)
$rot\, F \,=(1,0,0)$
$dS=(-2x,-1,-2z)\: dx\: dz$
Tenho dúvidas no vector que aponta do interior para o exterior. Pode ser o vector $(0,-1,0)$?
O rotacional está bem.
A substituição do $dS$ está mal. O vector $(-2x,-1,-2z)$ que aí usas é $\frac{\partial r}{\partial x} \times \frac{\partial r}{\partial z}$, mas, das duas uma: ou devia ser a norma desse vector ou então devias substituir todo o bloco $\hat{n}dS$ por $(-2x,-1,-2z)\: dx\: dz$ (ou pelo seu simétrico, se for esse a apontar para fora da superfície) — revê a matéria sobre integrais de superfície.
Quanto ao vector que aponta do interior para o exterior, não pode ser o que indicas, pois indicas apenas um vector, enquanto que, devido à curvatura da superfície, o vector em causa deverá variar de ponto para ponto. O vector $(-2x,-1,-2z)$, que calculaste anteriormente, é um vector normal à superfície (revê a matéria neste aspecto). Se tiveres feito um esboço da superfície em causa poderás observar que um vector normal à superfície que aponte para fora terá, neste exercício, que ter a coordenada em $y$ positiva. Como tal não é o caso com $(-2x,-1,-2z)$, então este aponta no sentido contrário ao que pretendes. Sabendo isto, é fácil fazer as compensações necessárias…
Boas tardes,
Então podemos contruir o plano tangente directamente a partir desta definição? Bastando conjugar o ponto $P$ com $\frac{\partial r}{\partial x} \times \frac{\partial r}{\partial z}$ ?
Em relação ao vector que aponta do interior para o exterior como é pedido no enunciado, pensei que fosse um vector que apontasse para a boca do parabolóide, ou seja, no sentido negativo de $y$.
Olá,
Então podemos contruir o plano tangente directamente a partir desta definição? Bastando conjugar o ponto $P$ com $\frac{\partial r}{\partial x} \times \frac{\partial r}{\partial z}$ ?
Essa é capaz de ser a definição mais apropriada neste caso. Não sei exactamente o que queres dizer com "basta conjugar…", por isso se quiseres poderás escrever aqui a fórmula que te permitirá fazer o cálculo e eu logo comentarei…
Em relação ao vector que aponta do interior para o exterior como é pedido no enunciado, pensei que fosse um vector que apontasse para a boca do parabolóide, ou seja, no sentido negativo de $y$.
A expressão "do interior para o exterior" é ambígua, daí conter itálicos. Nos testes ter-se-á que ser mais preciso. A ideia é imaginar que a secção do parabolóide em causa é um copo, devendo então o interior referir-se ao espaço dentro do copo e exterior ao espaço fora do copo. Assim, para apontar de dentro para fora do copo (e, simultaneamente, ser normal à superfície — não esquecer este pormenor) a coordenada em $y$ tem que ser positiva.
Pormenor: na figura que apresentas, há ainda que truncar o parabolóide através do plano $y=1$, tal como se indica no enunciado.
Bom dia,
Gostaria de saber se o resultado do problema 2b é
porque não sei se estou a perceber como se resolvem este tipo de problemas.
Obrigado
Como não dava para fazer novamente reply tive de colocar num novo post.
Essa é capaz de ser a definição mais apropriada neste caso. Não sei exactamente o que queres dizer com "basta conjugar…", por isso se quiseres poderás escrever aqui a fórmula que te permitirá fazer o cálculo e eu logo comentarei…
$\frac{\partial r}{\partial x} \times \frac{\partial r}{\partial z}=(-2x,-1,-2z)$
substituindo $P$
$(x-1,y-4,z-0)\cdot (-2,-1,0) \Leftrightarrow 2x+y=6$
Correcto (o resultado final; do lado esquerdo da equivalência esqueceste-te de igualar a zero, mas pelo lado direito torna-se claro que era nisso que estavas a pensar).
É sempre possível fazer reply, nem que seja fazendo-o através da mensagem de nível imediatamente superior de que depende. Os níveis de dependência estão restritos a 2, por opção. Convinha (a maior parte das pessoas não está a fazer isso) era identificar, no título, a questão a que respeita o comentário. No caso presente, eu próprio editei a tua mensagem para alterar o título nesse sentido.
Boa tarde
Na pergunta 6 a) gostava de saber se estou a pensar correctamente.
Comecei por parametrizar a superfície S:
(1)Depois calculei:
(2)E ainda:
(3)Obtendo assim o integral:
(4)Obrigado pela atenção
Olá. É isso mesmo. Eu talvez só acrescentaria um comentário sobre a injectividade da aplicação $r$ usada: como o enunciado nos pede um integral de superfície e exibe na sua notação a superfície e não uma sua parametrização, então o cálculo estaria errado se tivesses pegado numa parametrização que descrevesse a superfície mais do que uma vez de um modo essencial.
Viva professor! Eu gostava de saber se as condições do problema 2c são as seguintes:
(1)com,
(2)obrigado.
Olá. Sim, embora seja preferível na segunda expressão com o $r$ acrescentar também a desigualdade $0 \leq r$.
A restrição em $\theta$, que colocas no final, também poderia aparecer logo na expressão (1): ou através de uma conjunção com toda a expressão que está em (1) ou, o que é equivalente, fazendo a conjunção com cada uma das duas expressões entre parênteses.