Sejam $f,g : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ diferenciáveis em $a \in {\rm int}\, D$. Mostre que então $fg$ também é diferenciável em $a$ e que
(1)quais são as justificações que temos de apresentar nesta demonstração para ter tudo bem?
A pergunta é muito vaga, por isso a resposta só poderá ser de carácter geral:
Qualquer afirmação que se faça numa demonstração tem que ter alguma origem: ou é devida à matemática que aprenderam anteriormente noutras disciplinas de matemática (e nesse caso não se exigem grandes justificações) ou usa a matemática que já aprenderam na presente disciplina ou usa uma ou mais hipóteses que estejam a ser assumidas ou usa alguma conclusão anterior que já tenha sido obtida no decorrer da prova. Qualquer ocorrência das três últimas possibilidades acabadas de mencionar deverá ser claramente identificada e justificada pelo aluno.
Um bom método para que nada fique por justificar é, a seguir a cada afirmação que faça, o aluno perguntar-se a si próprio a razão pela qual essa afirmação é verdadeira. Só quando conseguir responder é que realmente percebeu aquilo que está a fazer (no caso de a resposta ser a correcta, claro).
Por outro lado, a demonstração só termina quando tiverem sido obtidas todas as conclusões escritas no enunciado do problema.
Estas recomendações não são específicas deste problema: são aplicáveis a qualquer um dos problemas que têm vindo a ser propostos.
Além disso, não me interpretem mal: com o que acabei de explicar, não estou a dizer que é com este processo metódico que dão os primeiros passos na resolução de um problema. Embora haja algumas coisas sem as quais é impossível começar, como o conhecimento das definições envolvidas ou de resultados que as envolvam1, a maneira como inicialmente se ataca um problema pode ser um bocado caótica e não tenho receita para isso, mas com certeza que ajuda conhecer a matéria que possa ter a ver com o assunto.
Algumas dúvidas:
No capítulo 3.1 parte 2, está a definição de função real diferenciável. No limite da definição não aparece o módulo no numerador e, nas aulas, a definição dada foi com módulo… É um erro?
Utilizando o limite com módulo e após algumas manipulações, o limite anterior é menor ou igual do que:
lim x->a [ |f(x) - f(a)| ] * lim x->a [ |g(x) - g(a)| / ||x - a|| ]
Como f é diferenciável, é também contínua em [a] pertencente a int(D) por isso o primeiro limite existe e é nulo.
A minha dificuldade está no segundo limite devido ao módulo… caso contrário seria a derivada de g em [a] que existe porque g é diferenciável em [a] e o resultado da multiplicação seria zero…
Também não posso passar o módulo para fora do limite porque me estou a lembrar de casos de funções reais de variável real em que, por exemplo |x - a|, ao decompor o limite em limites laterais não são iguais e portanto não é diferenciável em x = a…
No capítulo 3.1 parte 2, está a definição de função real diferenciável. No limite da definição não aparece o módulo no numerador e, nas aulas, a definição dada foi com módulo… É um erro?
É indiferente colocar-se aí o módulo ou não, pois o limite em causa deverá ser zero, e será zero sem módulo se e só se for zero com módulo.
Utilizando o limite com módulo e após algumas manipulações, o limite anterior é menor ou igual do que:
lim x->a [ |f(x) - f(a)| ] * lim x->a [ |g(x) - g(a)| / ||x - a|| ]
Revê os cálculos, pois parece-me que terás deitado fora coisas demais, à custa de aparecimento de certas constantes a multiplicar pela expressão que apresentas como majorante. E isso está a causar-te dificuldade em concluir. Mesmo quando dizes que
A minha dificuldade está no segundo limite devido ao módulo… caso contrário seria a derivada de g em [a]
repara que tal não é verdade: se pudesses retirar o módulo, não ficavas com a derivada de g em [a], pois em denominador continuarias a ter uma norma, e a norma não a podes tirar porque não podes dividir por vectores. Na verdade, estás a esquecer-te que a definição de derivada/diferenciável neste contexto (cf. a parte 2 da secção 3.1, como referes) não é como em AMI.
temos de provar que fg é diferenciável e só depois verificar a igualdade pretendida, ou podemos usar esse facto como uma hipotese e depois usando isso chegar a igualdade pretendida?
A ordem não tem que ser a do enunciado, mas as duas coisas têm que ser provadas.
Se conseguires fazer (correctamente) dessa maneira, nada tenho a opor. Mas, para que fique claro, a validade da expressão não garante, só por si, a diferenciabilidade.
Neste caso será mais correcto provar a diferenciabilidade de fg através de vizinhanças ou através da algebra de limites?
Desde que se prove correctamente (passe o pleonasmo), será correcto de ambas as maneiras.
No caso presente, e dado que a definição de diferenciabilidade foi dada em termos de limites, eu diria que seria de tentar usar a álgebra de limites. O que não quer dizer que seja uma aplicação imediata da álgebra de limites. Na verdade, para as manipulações intermédias poderá ajudar olhar para a prova da diferenciabilidade do produto no caso de as funções serem reais de uma variável real.
Se seguirmos a proposição da condição suficiente de diferenciabilidade acerca das derivadas parciais vamos de encontro ao segundo ponto que temos de provar…
Será esse o caminho mais indicado?
A proposição da condição suficiente de diferenciabilidade que envolve as derivadas parciais assume a continuidade destas no ponto em causa. Como o enunciado do problema não refere nenhuma hipótese de continuidade para as derivadas parciais, não estou a ver como é que essa proposição poderia ser usada.
Juntamente com o que referi na mensagem anterior, penso que será útil olhar também para a estrutura do início prova da regra da cadeia feita no livro.
Na demonstração podemos partir do princípio que
(1)
é válido ou também tem que se provar?
Depende da via seguida na demonstração.
Se precisas de invocar essa igualdade (1) na tua prova, deverás justificá-la, pois não é uma regra que tenha sido dada em AMIII. E a justificação não é difícil, com base no que sabes de AMI e do que significa uma derivada parcial…
Aparte: 2º aluno a usar LaTeX na escrita matemática das mensagens. Assim é outra coisa! :-)