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Exercício 5:
legenda: * - produto interno
na alínea (a) pede para calcular o campo vectorial f=(f1,f2,f3) onde f1=v * v, f2=v*(1,1,0) e f3=f1*f2
f1 e f2 são ambos campo escalares. entao f3 é o produto interno entre 2 campos escalares. isso é possível?
Estou em dúvida se dá 0 ou se é o produto escalar entre f1 e f2.
A notação não é das melhores. Se se encarar o ponto (o teu *) como produto interno em $\mathbb{R}^3$, então $f_1 \cdot f_2$ não faz sentido. No entanto o mesmo ponto pode ser usado para denotar o produto interno em $\mathbb{R}^2$ e até mesmo em $\mathbb{R}$. Contudo, como em $\mathbb{R}$ os "vectores" só têm uma coordenada, no fundo o produto interno aí resume-se ao produto usual, entre escalares.
A resolver esta ficha surgiu me uma duvida, em funções definidas por ramos para estudarmos a sua diferenciabilidade não podemos aplicar a regra :
"Se as derivadas parciais de f em a existirem e forem finitas, e se forem continuas em a, então f é diferenciavel em a."
Para o caso das funcões por ramos temos sempre que ir pela definição:
$\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)-\nabla f(a) \cdot (x-a)}{\| x-a \|} = 0$
Estou certa??
Unfold
Re: folha 7(diferenciabilidade da função definida por ramos) by 
filipasantana, 04 Dec 2010 20:42
Antes de mais, parabéns pelo uso do LaTeX na escrita da expressão matemática na tua mensagem!
Uma correcção à regra que enuncias: faz parte da hipótese as derivadas parciais existirem finitas mesmo numa vizinhança de $a$ (mesmo que a respectiva continuidade só se exija em $a$).
Quanto à questão que colocas:
Mesmo que vás pela definição indicada, precisarás de calcular previamente $\nabla f(a)$, logo as derivadas parciais de $f$ em $a$. Isso terás, em princípio, que fazer pela definição de derivada parcial, no caso de função definida por ramos que impliquem o ponto $a$.
Uma vez feito isto, se for fácil calcular (usando as regras de derivação) as derivadas parciais de $f$ numa vizinhança de $a$ (com exclusão do $a$), então (partindo do princípio que todos os cálculos deram valores finitos) poderás tentar usar a regra enunciada na tua mensagem: se houver continuidade das derivadas parciais em $a$, a função será aí diferenciável.
Muito obrigado!
Unfold
Re: folha 7(diferenciabilidade da função definida por ramos) by filipasantana, 04 Dec 2010 21:27
Ainda no contexto da dúvida de "filipasantana" acima:
Só necessito de usar o cálculo deste limite em "pontos críticos" da função em causa, como no caso das funções por ramos, estou certo? Os pontos críticos a que me refiro são pontos onde a função muda de comportamento, muda de ramo portanto.
Eu tenderia a dizer que sim na "maior parte" das situações, mas o melhor é manter o espírito "crítico".
Por exemplo, a função $f(x,y):=\sqrt{x^2+y^2}$ não muda de ramo em $(0,0)$, mas não tem derivadas parciais nesse ponto. É claro que neste exemplo seria então fácil concluir pela não diferenciabilidade em $(0,0)$.
Por outro lado, o que é uma função definida por ramos? Por exemplo, a função $f(x,y):=|x|y$ é definida por ramos? Se desdobrarmos o módulo ficará definida por ramos, mas esse ponto de vista está camuflado na notação…
Por outro lado ainda, que farias se a tua função "não mudasse de comportamento" mas após calculares as derivadas parciais observasses que estas não eram contínuas no ponto em causa?
Em relação às derivadas de 2ª ordem, por exemplo no exercicio 8 a), teria que calcular 9 derivadas de 2ª ordem mas pelo teorema de Schwarz apenas necessito de calcular 6, verdade? É só para ter a certeza que estou a calcular bem isto…
Em relação ao exercício 7:
Verifica-se realmente que as derivadas mistas existem mas não são iguais. Como é que mostro que as derivadas mistas não são contínuas na origem, invalidando deste modo a aplicação do Teorema de Schwarz? Isto porque as derivadas mistas deram 1 e -1; como é que verifico a não-continuidade, com que expressões?
Esta é uma questão curiosa, pois mostra uma falta de formação básica em termos de regras de raciocínio. Não é uma crítica nem estou a querer dizer que a culpa é tua. É apenas a constatação de um facto que poderá ajudar a mudar a ênfase sobre o que se ensina em disciplinas anteriores, de modo a que estas falhas sejam eliminadas (é que receio bem que vários colegas teus tenham a mesma dificuldade, e provavelmente isso terá sido a causa de várias respostas desastrosas nas questões do 2º mini-teste que lidavam com este tipo de questões).
Repara:
Para verificares a continuidade de uma função real $g(x,y)$ de duas variáveis num ponto $(a,b)$ que seja ponto de acumulação do domínio (e a este pertença), o que há a fazer é averiguar se
\begin{align} \lim_{(x,y) \to (a,b)} g(x,y) = g(a,b). \end{align}
Se isto se verificar, $g$ é contínua em $(a,b)$; caso contrário, não é. Isto é a adaptação da definição http://amiii.wikidot.com/2-1-continuidade-de-funcoes-de-varias-variaveis-parte-4#toc0 ao caso de funções reais de duas variáveis.
O teu problema é mostrar que uma das derivadas mistas de 2ª ordem de $f(x,y)$ não é contínua em $(0,0)$. Por exemplo, se quiseres tentar com $f_{xy}$, o que há a fazer?
Nesse caso, $g(x,y) := f_{xy}(x,y)$ e $(a,b):=(0,0)$, logo, substituindo em (1), deverás averiguar se
(2)\begin{align} \lim_{(x,y) \to (0,0)} f_{xy}(x,y) = f_{xy}(0,0). \end{align}
Como já calculaste que $f_{xy}(0,0) = -1$, então afinal o que há a averiguar é se
(3)\begin{align} \lim_{(x,y) \to (0,0)} f_{xy}(x,y) = -1, \end{align}
onde a expressão a usar no cálculo do limite é a expressão (que facilmente calculas) para $f_{xy}(x,y)$ nos pontos $(x,y) \not= (0,0)$, já que o valor de um limite nunca depende do valor da função no ponto onde está a ser calculado (revê o quiz nº 4 — que, por sinal, não chegaste a fazer).
Ficou claro?
No exercício 1.b)
No 1º ramo a função aí apresentada é diferenciável em qualquer ponto que verifique a condição desse ramo por ser o quociente entre funções vectoriais diferencíáveis nesses pontos; isto é suficiente?
Como faço para ver se a função é diferenciável nos pontos que verificam a condição do 2º ramo?
Sei que tenho que ver se existem as derivadas parciais de f nesses mesmos pontos, mas não estou a ver o que fazer, visto que não é um só ponto mas um conjunto. Agradecia que me desse algumas indicações sobre como resolver um problema deste tipo onde temos uma condição que define uma infinidade de pontos onde a função pode não ser diferencíável como é o caso do exercício 1
No 1º ramo a função aí apresentada é diferenciável em qualquer ponto que verifique a condição desse ramo por ser o quociente entre funções vectoriais diferencíáveis nesses pontos; isto é suficiente?
Estás a tentar usar http://amiii.wikidot.com/3-1-derivadas-e-gradientes-parte-5#toc0 aplicado à expressão $\frac{xy}{x^2+y}$, de modo que isto devia ser de algum modo referido (embora uma regra correspondente seja conhecida de AMI, essa regra não é aqui aplicável, pois as nossas funções têm mais do que uma variável, o que não acontecia em AMI). Mas falta também referir que para os pontos em causa a expressão $\frac{xy}{x^2+y}$ se mantém numa vizinhança de cada ponto. É que o cálculo de derivadas ou a verificação da diferenciabilidade depende do que se passa à volta do ponto em causa, já que estes conceitos envolvem a noção de limite.
Assim, por exemplo, apesar de no 2º ramo a função em causa ser a função nula, que é diferenciável em $\mathbb{R}^2$, isto não te permite garantir a diferenciabilidade de $f$ em tais pontos. O motivo pelo qual não te permite tirar essa conclusão é o facto de em qualquer vizinhança de um desses pontos haver sempre uns quantos (muitos mesmo) para os quais a função é dada pela outra expressão.
Como faço para ver se a função é diferenciável nos pontos que verificam a condição do 2º ramo? Sei que tenho que ver se existem as derivadas parciais de f nesses mesmos pontos, mas não estou a ver o que fazer, visto que não é um só ponto mas um conjunto. Agradecia que me desse algumas indicações sobre como resolver um problema deste tipo onde temos uma condição que define uma infinidade de pontos onde a função pode não ser diferencíável como é o caso do exercício 1
À partida o problema não estará no facto de haver vários pontos a verificar a condição, pois considera-se um ponto de cada vez. O problema poderá estar em que, mesmo com um ponto fixado de cada vez, em qualquer sua vizinhança existirem tanto pontos que obedecem à condição do 1º ramo como pontos que obedecem à condição do 2º ramo.
Talvez não seja pior fazeres uma figura onde traces a parábola $y=-x^2$ (que é a condição do 2º ramo), sobre a qual a função vale 0, para acompanhares o raciocínio.
Portanto, antes de mais vais querer calcular as derivadas parciais de $f$ num ponto $(a,b)$ tal que $b=-a^2$. Repara que, por definição de derivada parcial, no seu cálculo vais restringir a função a pontos sobre uma recta horizontal (no caso de derivares em ordem a $x$) ou sobre uma recta vertical (no caso de derivares em ordem a $y$), de modo que, dessa maneira, só vais apanhar pontos que obedeçam à condição do 1º ramo (isso salta à vista num esboço). Assim, por exemplo,
(1)\begin{align} f_x(a,b) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{(a+h)b}{(a+h)^2+b}-0}{h}. \end{align}
Este limite, assim como o que corresponde a $f_y(a,b)$, dá infinito, excepto quando $(a,b)=(0,0)$, caso em que dão ambos zero. O que quer dizer que a questão da diferenciabilidade fica resolvida (pela negativa) no caso de $(a,b) \not= (0,0)$, mas continua por resolver no caso de $(a,b)=(0,0)$. Neste último caso deverás agora prosseguir usando a definição de diferenciabilidade. O limite que terás de calcular no final não é assim tão simples, mas, se percebeste o que está para trás, deverás pelo menos ser capaz de analisar tudo o que precisas ainda de fazer para concluíres.
Toda esta análise que fiz até aqui qualquer aluno de AMIII deveria ser capaz de fazer, e talvez por aqui (e pela resposta a uma questão anterior) percebam porque é que os professores insistem, por um lado, na necessidade de se saberem as definições envolvidas num exercício e as propriedades que se poderão poder usar no seu contexto, e, por outro lado, na necessidade de se justificarem as várias passagens de uma demonstração ou mesmo de um exercício: é que foi isso exactamente que me possibilitou descobrir o caminho que tinha a seguir para resolver o exercício (reparem: não fui eu quem escolheu este exercício para a folha, logo, tal como para vocês, foi a primeira vez que o tentei resolver). Quando este é simples, muitos alunos topam a ideia; mas, quando exige um certo nº de passos que dependem de se saber o conteúdo teórico, a salvação é ser-se metódico e, se necessário, prosseguir com pequenos passos de cada vez. É claro que, se não se habituarem a fazê-lo em casos simples, dificilmente serão capazes de o fazer em casos mais complicados.
A propósito de se poderem usar propriedades (em vez das definições):
De facto, no presente exercício poderiam tentar usar http://amiii.wikidot.com/3-1-derivadas-e-gradientes-parte-3#toc4 (diferenciabilidade implica continuidade). Isto é, se for fácil ver que uma função não é contínua num dado ponto, então fica facilmente provado que não é diferenciável nesse mesmo ponto.
Indo por aqui, em relação aos pontos $(a,b)$ tais que $b=-a^2$ teriam que averiguar se
(2)\begin{align} \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = f(a,b) \end{align}
ou não.
Será que conseguem agora prosseguir sozinhos com a análise?
Têm agora obrigação pelo menos de perceber exactamente o que tem que ser feito e de concluir o que se passa no caso de $(a,b) \not= (0,0)$. No caso de $(a,b)=(0,0)$, novamente o limite que se terá de calcular não é assim tão simples. E posso adiantar que se iria obter a continuidade da função em $(0,0)$, o que quer dizer que, no caso deste ponto, não se consegue usar http://amiii.wikidot.com/3-1-derivadas-e-gradientes-parte-3#toc4 e, portanto, aí, tanto quanto estou a ver, terá mesmo que se usar a primeira abordagem explicada em cima.
Desde já obrigado pelas respostas completas e detalhadas às minhas questões.
Continuando com o exercício 1.b), penso que compreendi o que se tinha a fazer neste problema; na sua resposta confirmou a não diferenciabilidade da função para o caso (a,b) diferente de 0, mas, no caso (a,b)=0, onde a questão de diferenciabilidade ainda não foi resolvida, apliquei a definição de diferenciabilidade com a qual esperaria confirmar ou não a diferenciabilidade no respectivo ponto (uma vez que a hipótese da existência das derivadas parciais já foi confirmada como sendo zero); analiticamente, não estou a conseguir resolver esse mesmo limite a que cheguei dado por lim (a,b)->(0,0) [ab/((a^2+b)*raizquadrada(a^2+b^2)]; tentei substituir valores mas o resultado não é zero(dessa forma f não é diferenciável no referido ponto), mas sei que não é a maneira correcta de o fazer;
Outra questão é o calculo do limite que nos permite constatar que f é contínua em (0,0), não servindo a referida propriedade para concluir sobre a eventual não-diferenciabilidade de f no devido ponto; agradecia assim umas dicas no cálculo deste último limite e do primeiro a que me refiro na 1ª parte da pergunta.
Continuando com o exercício 1.b), penso que compreendi o que se tinha a fazer neste problema; na sua resposta confirmou a não diferenciabilidade da função para o caso (a,b) diferente de 0, mas, no caso (a,b)=0, onde a questão de diferenciabilidade ainda não foi resolvida, apliquei a definição de diferenciabilidade com a qual esperaria confirmar ou não a diferenciabilidade no respectivo ponto (uma vez que a hipótese da existência das derivadas parciais já foi confirmada como sendo zero); analiticamente, não estou a conseguir resolver esse mesmo limite a que cheguei dado por lim (a,b)->(0,0) [ab/((a^2+b)*raizquadrada(a^2+b^2)]; tentei substituir valores mas o resultado não é zero(dessa forma f não é diferenciável no referido ponto), mas sei que não é a maneira correcta de o fazer;
É melhor (e importante, devido à tua última frase) começar por precisar melhor qual o limite em causa:
(1)\begin{align} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}. \end{align}
A expressão para $f(x,y)$ depende de $(x,y)$ obedecer à condição do 1º ramo ou à do 2º, daí eu não ter substituído já.
Tentando tirar partido de http://amiii.wikidot.com/2-1-continuidade-de-funcoes-de-varias-variaveis-parte-3#toc6, podemos estudar separadamente os limites das restrições a $x^2+y \not = 0$ e a $x^2+y = 0$. Neste último caso o limite dá 0, por isso precisamos de considerar o que se passa no 1º caso, em que o que se pretende calcular é, então,
(2)\begin{align} \lim_{(x,y) \to (0,0) \atop x^2+y \not= 0} \frac{xy}{(x^2+y)\sqrt{x^2+y^2}}. \end{align}
A fracção em si é a que indicas, excepto que estou a usar $x$ e $y$ em vez de a e b, respectivamente. Faço-o também por uma questão de coerência do texto: se estamos a estudar o caso em que $(a,b) = (0,0)$, então a forma de escrita que usaste deve ser evitada. Repara, em particular, que, enquanto $a^2+b=0$, em (2) estou a considerar que $x^2+y \not = 0$.
O estudo deste limite não é algo que seja imediato. Não sei que substituições tentaste nem como procedeste, mas, por exemplo, restringindo a $x=0$ ou a $y=0$ leva-nos a zero, o que nada permite concluir sobre (2). Mas se restringires a $y=x^2$ as contas também são fáceis de fazer e obtém-se $1/2$ ou $-1/2$, consoante a aproximação se faça por valores positivos ou negativos de $x$, respectivamente. Em conclusão, a função não é diferenciável em $(0,0)$.
Outra questão é o calculo do limite que nos permite constatar que f é contínua em (0,0), não servindo a referida propriedade para concluir sobre a eventual não-diferenciabilidade de f no devido ponto; agradecia assim umas dicas no cálculo deste último limite…
Novamente, devido ao facto de ramos diferentes darem expressões diferentes para a função, teremos que separar no cálculo dos limites restritos a $x^2+y \not = 0$ e a $x^2+y = 0$. Neste último caso o limite dá 0, logo precisamos ainda de calcular
(3)\begin{align} \lim_{(x,y) \to (0,0) \atop x^2+y \not= 0} \frac{xy}{x^2+y}. \end{align}
O cálculo aqui ainda é mais difícil do que no caso anterior. Após várias tentativas com várias restrições, ou esboçando o gráfico da função usando um dos plug-in's disponibilizados, podemos eventualmente começar seriamente a pensar que o limite deverá existir (e ser zero). Alguma análise heurística à expressão, observando o que se passa quando, no denominador, domina $x^2$ ou domina $y$, pode também apontar nesse sentido. A verdade, no entanto, é que, contra todas estas expectativas, não existe limite neste caso. A informação errada que dei em post anterior baseou-se em contas que não verifiquei devidamente. Ao analisar agora a situação com mais cuidado dei conta de algumas passagens indevidas e acabei por concluir o contrário do que cheguei a pensar ser verdade. Para se ver que o limite (3) não existe, escolha-se, por exemplo, a restrição $y=-x^4-x^2$ (observe-se que se verifica $x^2+y \not= 0$ para $(x,y) \not= (0,0)$ e que este continua a ser ponto de acumulação mesmo com esta restrição ao domínio). Substituindo na fracção em (3) obtém-se
(4)\begin{align} \frac{x (-x^4-x^2)}{x^2-x^4-x^2} = \frac{-x^5-x^3}{-x^4} = x +\frac{1}{x}, \end{align}
que se torna infinitamente grande quando $x$ tende para 0.
Assim, afinal a não diferenciabilidade em $(0,0)$ também se podia concluir a partir daqui, mas a prova directa, indicada em cima, acaba por ser mais simples.
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