Problema 4 para o 1º teste
Recorde a definição de função integrável e de integral dada no livro:
Seja $f : R \to \mathbb{R}$ uma função limitada, onde $R := [a,b] \times [c,d]$ é um rectângulo em $\mathbb{R}^2$. Se existir um único número real $I$ tal que
(1)\begin{align} \underline{S}(f,P) \leq I \leq \overline{S}(f,P), \end{align}
independentemente da partição $P$ que se considere para $R$, diz-se que $f$ é integrável (em $R$) e que $I$ é o integral de $f$ (sobre $R$).
1. Prove a proposição sobre integração em subrectângulos:
Seja $f : R \to \mathbb{R}$ integrável. Se $R_1 = [a_1,b_1] \times [c_1,d_1]$ for um subrectângulo de $R$, então $f$ é também integrável em $R_1$ (i.e., $f|_{R_1}$ é integrável).
2. Dê um exemplo em que $\int \!\!\! \int_{R_1} f > \int \!\!\! \int_R f$.