1. Por hipótese existe $c:= \lim_{y \to b} h(y) \in \mathbb{R}^p$, ou seja (complete a afirmação seguinte),
(1)
\begin{align} \forall \varepsilon >0, \exists \delta_h>0 : \forall y \in B,\; \ldots \ldots \ldots \Rightarrow \ldots \ldots \ldots \, . \end{align}
Queremos provar que $c$ é também o $\lim_{x \to a} (h \circ f)(x)$, i.e., que (complete a afirmação seguinte)
(2)
\begin{align} \forall \varepsilon >0, \exists \delta>0 : \forall x \in A,\; \ldots \ldots \ldots \Rightarrow \ldots \ldots \ldots \, . \end{align}
Seja $\varepsilon > 0$ qualquer e considere-se $\delta_h$ como em (1). Queremos obter $\delta >0$ que nos permita afirmar que (complete a afirmação seguinte)
(3)
\begin{align} \forall x \in A,\; \ldots \ldots \ldots \Rightarrow \ldots \ldots \ldots \, . \end{align}
- Verifique que o consequente de (1) implica o consequente de (3) desde que $f(x)$ seja um dos $y \in B$ que verifica o antecedente da implicação em (1).
- Escolha $\delta > 0$ de tal modo que o antecedente de (3) implique o de (1) para todos os $y$'s da forma $f(x)$, $x \in A$.
Conclua!
2. Se a implicação $x \not= a \Rightarrow f(x) \not= b$ não se verifica, então é porque há valores de $x$ diferentes de $a$ para os quais $f(x)=b$. Tal acontece, por exemplo, se $f$ for uma aplicação constante (nesse caso $b$ será essa mesma constante).
Assim, sugere-se que construa o seu exemplo usando para $f$ uma aplicação constante. Depois faltar-lhe-á escolher uma aplicação $h$ adequada. Para o efeito observe que, pela proposição sobre o limite da composição, revisitado, há uma propriedade que $h$ não deverá ter no ponto $b$.
