Problema 2 para o 1º teste

Summary:

este é um dos resultados cuja prova pode ser pedida no 1º teste; no esquema de resolução apresentado em baixo podem faltar frases antes da primeira, depois da última e entre as que se apresentam, para além de várias destas poderem necessitar de justificação; além disso, algumas das frases pedem-lhe que concretize uma determinada tarefa

Problema 2 para o 1º teste

acaetano 16 Oct 2010 09:56

Dê dois exemplos de parametrizações em que, por motivos diferentes, não seja possível determinar, através dessas parametrizações e usando a receita indicada no livro, a recta tangente à respectiva curva $C$, suposta gráfico de uma função $f:]a,b[ \to \mathbb{R}$, i.e.,

(1)

\begin{align} C := \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \in ]a,b[ \, \wedge \, y=f(x) \}, \end{align}

num ponto $(x_0,y_0) \in C$, com $x_0$ um ponto de diferenciabilidade de $f$.

Nota: Pode concretizar a função $f$, i.e., não se exige que considere toda e qualquer função $f$ nas condições dadas.

Esquema de resolução

acaetano 24 Oct 2010 12:26

Seja $f:\, ]-1,1[ \to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=0$, $\forall x \in ]-1,1[$, logo seja

(1)

\begin{align} C = ]-1,1[ \times \{ 0 \}. \end{align}

Seja $(x_0,y_0) = (0,0) \in C$. Verifica-se que $x_0$ é ponto de diferenciabilidade de $f$, com $f'(x_0)=f'(0)=0$. Assim, do ponto de vista geométrico, o eixo dos $xx$ é a recta tangente a $C$ em $(x_0,y_0)$.

1º exemplo:

Construa um caminho $r:\, ]-1,1[ \to \mathbb{R}^2$ cuja imagem seja $C$ e tal que

(2)

\begin{align} r(t_0):=r(0):=(0,0)=(x_0,y_0) \; \mbox{ e } \; r'(t_0)=0. \end{align}

Conclua que a receita a que se refere o enunciado não permite determinar a recta tangente a $C$ em $(x_0,y_0)$.

2º exemplo:

Construa um caminho $r:\, ]-1,1[ \to \mathbb{R}^2$ cuja imagem seja $C$ e tal que

(3)

\begin{align} r(t_0):=r(0):=(0,0)=(x_0,y_0) \; \mbox{ e } \; x'(t_0):=r'_1(t_0)=+\infty. \end{align}

Conclua que a receita a que se refere o enunciado não permite determinar a recta tangente a $C$ em $(x_0,y_0)$.

Re: Esquema de resolução

Ana Pedro 29 Oct 2010 11:21

Quando diz em cima que x'(to) := r1'(to) = + Inf, ao fim ao cabo o ponto to não pertence a x'(t), pois não? Esta função tende para + Inf quando t tende para to, certo?

Re: Esquema de resolução

acaetano 29 Oct 2010 14:09

Antes de mais, é necessário algum cuidado com a linguagem:

não faz sentido dizer-se que

o ponto $t_0$ não pertence a $x'(t)$, pois não?

pois os pontos só podem pertencer ou deixar de pertencer a conjuntos e $x'(t)$ não é um conjunto. Na melhor das hipóteses é uma função, usando um habitual abuso de notação, e pela tua frase seguinte é, de facto, nesse sentido que estás a pensar em $x'(t$). Tentando adivinhar, talvez quisesses, nesta questão, confirmar se $t_0$ não pertence ao domínio de $x'$. Assim é, na verdade: se $x'(t_0)=+\infty$, então a função $x'$ não se encontra definida em $t_0$, ou seja, $t_0$ não pertence ao seu domínio.

Apesar disso, se se diz que $x'(t_0)=+\infty$ então é porque o limite dos quocientes diferenciais que define a derivada $x'(t_0)$ dá o valor $+\infty$. O que não é a mesma coisa que dizer-se que

Esta função tende para $+\infty$ quando $t$ tende para $t_0$, certo?

É que não se diz em nenhum lado que $x'(t)$ exista para $t \not= t_0$, e no caso de não existir não faz sentido fazê-la tender para o que quer que seja. No entanto, a definição de $x'(t_0)$ não exige a existência de $x'(t)$ para $t \not= t_0$ (poderás facilmente comprová-lo escrevendo a definição de derivada de uma função real de variável real num ponto).