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No exercicio 8, estou com algumas dúvidas na parametrização da Curva C, vai ser uma circunferência de raio 2 e cota 3?
Exactamente. Eventualmente a confusão virá do facto de $x^2+y^2=4$, sendo dada num contexto de 3 dimensões, representar um cilindro (e não uma circunferência). Em particular, a variável $z$ está livre nessa equação (já que não aparece). Só ao fixar-se a cota é que se obtém uma circunferência.
Não percebo como se resolvem as alíneas do exercício 5.
Será possível dar umas dicas?
Na fórmula dada para o cálculo da média, $s(\Gamma)$ refere-se ao comprimento de $\Gamma$.
As designações de "ordenada" e de "cota" nas alíneas referem-se, respectivamente, às aplicações $f(x,y,z)=y$ e $f(x,y,z)=z$, assim como "abcissa", se aparecesse, se referiria à aplicação $f(x,y,z)=x$.
Assim, p.e., na alínea (a) o que se pretende é usar a fórmula dada no caso em que $f(x,y,z)=y$ e, claro, usando a parametrização dada nessa alínea na parte do cálculo do integral relativamente ao comprimento de arco.
No exercicio 6, tendo r(t)=(t,t,t) e r'(t)=(1,1,1), com t E [0,1]
É suposto fazer o integral do produto interno de (t,t,t).(1,1,1) de 0 a 1 ?
Pode parecer estranho nesta situação simples onde a função a integrar é a identidade, mas a aplicação da definição do integral curvilíneo de campos vectoriais dá exactamente aquilo que escreveste.
No exercicio 4 considera-se f(x,y,z)=x-9 e resolve-se o integral de linha normalmente?
Tens que tomar previamente em atenção que $z=x-9$ pode ser negativo, de modo que terás que dividir o cálculo em duas partes e numa delas compensar o sinal.
O que o integrador da Wolfram diz é que não consegue encontrar uma fórmula para a primitiva e que provavelmente não existirá uma tal fórmula.
O que é "provável" que seja verdade. Verifiquei também que o tipo de função a integrar não aparece numa das tabelas de integrais que consultei e nenhum dos métodos clássicos (por partes ou substituição) parece aplicável.
Assim, e dado que o integral existe de certeza (pois a função integranda é contínua e o intervalo de integração é limitado e fechado), parece-me nesta altura que o seu valor só poderá determinar-se por métodos de Análise Numérica (usando Mathematica, ou Maple, ou Matlab, p.e.).
Mas se a minha colega tiver uma opinião diferente sobre o assunto, deixará aqui o seu ponto de vista mais tarde.
Como o Professor Caetano diz, e bem, a função integranda é contínua e o intervalo de integração é fechado e limitado, pelo que o integral existe.
Por outro lado, a não existência de primitiva imediata (ou quase) não impede o uso de métodos já dados anteriormente, como o desenvolvimento da função integranda em série de potências (por exemplo) e respectivo cálculo por aproximação (o que também explica a necessidade de terem estudado restos de Lagrange para desenvolvimentos em série).
Boa tarde.
Não percebi quais são as situações em que é necessário dividir o cálculo dos integrais de linha ( como fez referência no post sobre o exercício 4).
Olá,
Quando se está a usar o integral de linha para calcular uma área, há que ter esse cuidado. A situação é análoga à que já se passava na integração dada em AMI, quando era usada para calcular uma área:
Por exemplo, se quiseres calcular a área entre o gráfico do seno e o eixo das abcissas, quando a abcissa varia entre 0 e $2\pi$, se calculares $\int_0^{2\pi} \sin x\, dx$ o que obtens é zero, e não a área que pretendias. Para obteres esta terás que dividir o domínio de integração em dois: ao integrares de 0 a $\pi$ obtens de facto a área nessa secção; ao integrares de $\pi$ a $2\pi$ obtens um valor negativo (pois o seno é negativo aí), que será o simétrico da área; assim, a área total neste caso é a soma do valor do integral na primeira secção com o simétrico do integral na segunda secção.
No caso de integrais de linha relativamente ao comprimento de arco, a situação é análoga, com a diferença de o domínio de integração ser uma curva. Nas secções em que a função a integrar seja negativa o integral dar-te-á o simétrico da área entre a curva e o gráfico da função, logo nesses casos (e só nesses casos) terás que compensar passando ao simétrico.
É claro que, se te apenas for pedido o cálculo do integral, sem nenhuma referência a determinação de áreas, então aí não há lugar à divisão em vários integrais nem a compensações de sinais.
Podia dizer-me como se resolvem exercícios como o 7 e o 8 onde não temos um ds mas sim dx, dy e dz?
Obrigada.
Isso está explicado em http://amiii.wikidot.com/2-3-integrais-curvilineos-parte-3, que inclui também um exemplo.
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