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Viva. Não estou a conseguir fazer o ex4, alínea a). Tento fixar o x=0, y=0,y=x, obtenho sempre indeterminação. Eu sei que (x,y) está a tender para (a,a), mas não será possível fixar y=-x ?
Fixar x=0 e y=0 não faz sentido a menos que (a,a) seja a origem; de outro modo, não é ponto de acumulação daquelas rectas. Pelo mesmo motivo, também não faz sentido fixar y=-x quando a não é 0.
A ideia para a resolução é usar a fórmula trigonométrica
(1)\begin{align} \sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x-y}{2} \cos \frac{x+y}{2}, \end{align}
de modo a transformar o numerador num produto. Suponho que a partir daí seja fácil.
É bom manter em mente esta ideia de explorar fórmulas trigonométricas quando se pretendem calcular limites envolvendo essas funções. É claro que num exercício num teste onde fosse necessária alguma das fórmulas mais esotéricas (como a que escrevi em cima), apareceria em tabela como apêndice ao teste.
estou com dificuldades no calculo do limite que saíu no 1º teste do ano passado.
Depois de efectuar as operações dos logaritmos chego a (1+xy)^(1/x) e depois?
Ao fazer o limite do expoente, este dá k ( aplicando o teorema da composta e usando o limite notável dad o no secundário). então o resultado final é e^k. consequentemento o limite não exioste, é isso?
enganei-me o que queria dizer é que o valor do limite é e^k e esse limite existe.
Sim, para cada k considerado, o limite existe e é e^k. Mas, como bem alerta jmaag, há vários detalhes a serem justificados (por exemplo, cuidado com possível divisão por zero, ou com a verificação das hipóteses para se poder aplicar a regra do limite da composição).
Suponha-se que dada uma qlq função estuda-se o limite da mesma num determinado ponto através dos limites iterados ou direccionais. Sendo esses limites constantes e iguais, pode desde já concluir-se q se de facto o limite existir é essa tal constante ou, ainda assim, temos de aplicar a definição pra provar a sua existencia?
A tua questão contém duas hipóteses que não é possível tratar ao mesmo tempo. Convém tomares consciência disso, para eliminares o tipo de confusão que te levou a fazer a pergunta:
Sendo esses limites constantes e iguais, pode desde já concluir-se q se de facto o limite existir é essa tal constante?
A resposta lógica é sim, pode: é que, pela tua frase, estás a supor que o limite da função existe no ponto; ora, é sabido que se tal acontece então os limites direccionais têm que existir e dar o mesmo valor; assim, o valor que estes derem é o valor do limite da função no ponto.
ou, ainda assim, temos de aplicar a definição pra provar a sua existencia?
A resposta lógica também é sim, tens1: é que agora não estás a assumir que o limite da função no ponto existe, logo pode não existir, e o facto de os limites direccionais darem sempre o mesmo valor não é garantia que exista o limite da função no ponto e que seja esse valor comum.
Footnotes
1. ou então usa alguma propriedade que te permita calcular o limite sem ser pela definição
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