Problema 4 para o 1º mini-teste

Summary:

este é um dos resultados que pode ser escolhido para ser provado no 1º mini-teste

Problema 4 para o 1º mini-teste

acaetano 19 Sep 2010 00:12

Assim como em Análise Matemática II se consideraram equações diferenciais (EDOs) lineares de 1ª ordem

(1)

\begin{equation} y'(x) + a(x)y(x) = f(x), \end{equation}

envolvendo funções reais de uma variável real, também agora podemos considerar EDOs vectoriais lineares de 1ª ordem

(2)

\begin{equation} Y'(x) + a(x)Y(x) = F(x) \end{equation}

envolvendo as funções vectoriais $Y,F: I \to \mathbb{R}^n$ e a função real $a: I \to \mathbb{R}$, onde $I$ é um intervalo de números reais (e onde $Y$ é a função incógnita).
Mostre que, se $a$ e $F$ forem contínuas, então para cada $x_0 \in I$ e cada vector $Y_0 \in \mathbb{R}^n$ existe uma única solução da Eq.(2) que satisfaz também a condição inicial $Y(x_0)=Y_0$, e que essa solução é dada, para cada $x \in I$, por

(3)

\begin{align} Y(x) = e^{-A(x)} \left( Y_0 + \int_{x_0}^x e^{A(t)} F(t) \, dt \right), \quad \mbox{onde }\, A(x):=\int_{x_0}^x a(t) \, dt. \end{align}

Re: Problema 4 para o 1º mini-teste

icbettencourt 03 Oct 2010 12:13

Sabemos que Y = (Y₁ , …, Y_n) , como as funções coordenadas são reais de variável real, o

integral (1/Y_j) d_j = ln|Y_j| onde j=1, …, n.

Sendo assim posso dizer que

integral (Y) dY = ln ||Y|| ???

pois o módulo em |R corresponde à norma em |Rⁿ .

Obrigada pela ajuda!

Re: Problema 4 para o 1º mini-teste

acaetano 03 Oct 2010 17:59

integral (1/Yj) dj = ln|Yj| onde j=1, …, n.

Suponho que dj signifique dYj. Mesmo assim, isto só será válido se Yj for variável independente. No entanto, no contexto do problema as integrações e derivações deverão ser feitas em relação a $x$, logo $Y_j$ deverá considerar-se como variável dependente (de $x$).

integral (Y) dY = ln ||Y|| ???

Mais à frente daremos integrais múltiplos, mais concretamente integrais duplos e triplos, como parece ser o que consideras aqui. Mas mesmo os integrais múltiplos que consideraremos terão funções integrandas escalares. Se considerarmos funções integrandas vectoriais, então provavelmente o resultado deveria ser um vector, e não o escalar que escreveste no segundo membro.

Não vejo para que precisas deste tipo de integração. Penso que em ambos os casos te estás a esquecer que a EDO tem a variável real $x$ como variável independente, logo, tal como referi em cima, é em relação a ela que se devem fazer as derivações e integrações.

Re: Problema 4 para o 1º mini-teste

icbettencourt 03 Oct 2010 20:20

Sim era dYj.

O que eu fiz foi considerar Y' + a(x)Y = 0 como EDO vectorial homogenea associada, e para determinar a soluçao desta recorri às EDOs de variaveis separaveis, daí precisar daquele integral. Não pode ser por aqui?

Obrigada.

Last edited on 03 Oct 2010 20:22 by icbettencourt Show more

Re: Problema 4 para o 1º mini-teste

acaetano 04 Oct 2010 00:01

Então em

integral (Y) dY = ln ||Y|| ???

penso que quererias escrever $1/Y$ em vez de $Y$ como função integranda no primeiro membro. O que torna as coisas piores, pois obriga a dividir por um vector!

Tenta tirar mais partido do que sabes para as funções coordenadas, a partir do que foi dado em AMII no contexto de EDOs.

Principais deficiências ou erros observados nas resoluções

acaetano 19 Oct 2010 21:38

1. Falta de estrutura no argumento; deficiência de escrita (questões de português), que pode tornar o argumento mais ou menos ininteligível.

Por vezes a deficiência de escrita é mesmo ausência de escrita. Dou-vos um exemplo (não interessa o aluno: é um exemplo entre vários do mesmo género — no conjunto das resoluções dos quatro problemas —, com mais ou menos gravidade). Supostamente a resolução deveria ser inteligível por alguém que apenas conhecesse o enunciado do problema e a matéria que a suporta. Coloquem-se no papel de uma tal pessoa e avaliem se é razoável esperar que ela perceba a resolução apresentada em baixo (a qual contém até uma "vaga ideia" de como a coisa poderia funcionar — o problema é, como alguém disse, que é maior a "vaga" do que a "ideia").

Naturalmente, o que está a vermelho são anotações minhas.

2. Tal como no exemplo acima, houve um grupo de alunos que tentou uma abordagem via "factor integrante". Um dos problemas aqui é que em geral não invocam os resultados que estão a usar no contexto de funções vectoriais. Muitos correspondem a resultados dados em Análise Matemática I para funções reais, mas fica a dúvida, para quem corrige, sobre se os alunos estão cientes da diferença de contexto. De qualquer modo, de uma maneira geral quem seguiu por essa via não verificou a condição inicial nem a unicidade, o que me leva a pensar que tais provas foram feitas em "piloto automático", sem pensarem realmente no que estavam a fazer.

3. Outros tentam provar a existência e a unicidade separadamente, mas novamente fico com dúvidas se os alunos que optaram por essa via tinham consciência de estarem perante um contexto de funções vectoriais, já que isso nunca é referido explicitamente. As dúvidas aqui transformam-se em certezas na parte da unicidade, onde invocam explicitamente a expressão para a solução geral da equação homogénea associada obtida em Análise Matemática II: é que aí só se consideraram EDOs escalares e, portanto, o resultado invocado não é directamente aplicável no contexto do problema proposto, onde mesmo a correspondente EDO homogénea é vectorial.

4. Houve ainda um ou outro aluno que não se coibiu de dividir por vectores e de igualar escalares a vectores… É claro que se, como outros, tivessem previamente conversado com os professores explicando como pensavam atacar o problema, tais erros poderiam ter sido facilmente evitados na resolução no mini-teste.