Recorde a definição de tangente a um ponto de uma curva que é dada no livro:
Sejam $C$ uma curva descrita por um caminho $r : I \to \mathbb{R}^n$ e $t_0 \in I$. Se $r'(t_0)$ existir e for diferente de zero, diz-se que a recta que passa por $r(t_0)$ e tem a inclinação de $r'(t_0)$ é a recta tangente a $C$ em $r(t_0)$.
Como uma curva $C$ pode ser descrita por muitos caminhos $r$ diferentes e esta definição se baseia no cálculo de $r'$, não é à partida claro que deste modo se obtenha sempre a mesma recta tangente num dado ponto de uma dada curva.
Considere, no entanto, o caso em que $C$ é o gráfico de uma função $f:]a,b[ \to \mathbb{R}$, i.e.,
(1)considere um ponto $(x_0,y_0) \in C$, com $x_0$ um ponto de diferenciabilidade de $f$, e considere ainda uma qualquer parametrização $r$ de $C$ tal que $r'(t_0) \not= 0$, onde $t_0$ é tal que $r(t_0)=(x_0,y_0)$. Mostre que, nestas condições, a definição de recta tangente a $C$ em $(x_0,y_0)$ não depende da escolha da parametrização, sendo que o seu declive é sempre dado por $f'(x_0)$.