Problema 2 para o 1º mini-teste
Seja $f:[a,b] \to \mathbb{R}^n$ limitada e contínua. Mostre que
(1)\begin{align} \left\| \int_a^b f(x) \, dx \right\| \leq \int_a^b \| f(x) \| \, dx. \end{align}
Problema 2 para o 1º mini-teste
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Summary:
este é um dos resultados que pode ser escolhido para ser provado no 1º mini-teste
Boa tarde.
Queria saber se faz sentido, escrever-se que f(x) é menor ou igual do que a norma de f(x) ?
Obrigado
Se provarmos que para cada função coordenada de F se verifica que | int fi(x) dx | <= int |fi(x)| dx usando Riemann e outras proposições relacionadas, podemos depois concluir o resultado de acima?
A desigualdade que indicas pode praticamente tomar-se como adquirida, a partir daquilo que se conhece de Análise I (embora devas conferir, com um livro de texto, que as hipóteses garantem a validade dessa desigualdade). Assim, o verdadeiro problema a resolver é como provar-se, a partir daí, aquilo que é proposto no enunciado.
Isto é, caso queiras tentar por essa via. Não interpretes da minha resposta que essa terá que ser a via.
Podemos fazer a prova com a norma do máximo? A norma do máximo e a norma euclidiana são equivalentes para intervalos finitos?
O resultado é para ser obtido com a norma euclidiana. Um resultado com a norma do máximo seria um resultado diferente. E repara que, mesmo provando-se com a norma do máximo, o uso de equivalência entre normas iria introduzir constantes indesejáveis, se se pretendesse, por essa via, passar para um resultado com a norma euclidiana.
Usando a definição de integral de Riemann apresentada no Problema 1 podemos escrever isto:
, válido para todas as funções coordenadas, fazendo dos devidos cálculos…
Depois partindo daí chegamos ao resultado pretendido… é possível?
Vai no caminho certo, mas é só o início. Falta o resto.
Não percebi a referência sobre a desigualdade ser válida para todas as funções coordenadas: como envolve a norma, parece-me que o $f$ em cima deverá ser a função vectorial.
Então, generalizando a função vectorial (ou seja, qualquer norma tomada em R^n) tenho o seguinte:
Depois aplico isto na restante expressão (omite-se por razões óbvias) e chego a um resultado parecido com este já dado:
Depois aplico isto na restante expressão (omite-se por razões óbvias) e chego a um resultado parecido com este já dado:
A minha dúvida final é se tenho de provar também este passo? (se o tiver de fazer poderia dar umas dicas?)
Boa noite!
Quero provar que ||r(b)-r(a)||<=||r(t1)-r(a)||+…+||r(b)-r(tm-1)||
Pela desigualdade triangular, sei que ||vecv+vecu||<=||vecv||+||vecu||, onde vecv e vecu sao vectores.
Seja A=||r(b)-r(a)||
Seja B=||r(t1)-r(a)||+…+||r(b)-r(tm-1)||
Seja C=||r(b)||+||-r(a)||
Seja D=||r(t1)||+||-r(a)||+…+||r(b)||+||-r(tm-1)||
Quero então provar que A<=B.
Posso então concluir, pela desigualdade triangular, que A<=C<=B<=D, logo provo A<=B. É um raciocínio certo?
Olá! Tenho várias objecções:
1. Se a tua cadeia de desigualdades é $A \leq C \leq B \leq D$ e pretendes concluir que $A \leq B$, não percebo para que serve a parte $B \leq D$ na tua cadeia: bastaria $A \leq C \leq B$ para concluires que $A \leq B$. No entanto, a parte $C \leq B$ não é necessariamente verdadeira.
2. Se te enganaste e pretendias escrever $A \leq C \leq D \leq B$, o que levaria a concluir que $A \leq B$, agora é $D \leq B$ que é em geral falsa.
1. Comparação (através de $\leq$ ou $\geq$) entre $f(x)$ e $\| f(x) \|$.
2. Confusão entre hipótese e tese (ou notação enganadora para correspondente resultado de Análise Matemática I que queriam invocar).
3. Uso indevido de sinais, como p.e. em $]a,b[ \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$.
4. Falta de justificação da troca de limites com vectores, para o limite não canónico em causa (ver algo semelhante, descrito com mais detalhe, no ponto 7 das observações às resoluções do problema 1 do 1º mini-teste).
5. Analogamente, falta de justificação de troca de limites com normas, para o limite não canónico em causa.
6. Uma das tentativas de abordagem usada consistiu em passar para normas equivalentes. Quem tivesse estado atento ao que se discutiu neste fórum saberia que esse caminho não iria dar a nada, como se depreende da minha resposta em cima a uma questão que me foi colocada nesse sentido.
7. Vários alunos usaram um argumento de troca de limite com o somatório da soma de Riemann que está, pura e simplesmente, errado: é que o nº de parcelas desse somatório depende da partição que se considere, a qual varia quando se pretende calcular o limite; em tais situações não se pode fazer a troca entre limite e soma (para já não falar de que se trata de um limite diferente do habitual, como já foi anteriormente referido).
8. Alguns alunos tentaram fazer uma prova por indução sobre o nº de parcelas da soma de Riemann, o que é completamente errado devido ao problema explicado no ponto anterior.
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