Uma maneira de definir integral de uma função vectorial de variável real é através de somas de Riemann, tal como no caso de funções reais:
Dada uma partição $p=(x_0, \ldots, x_m)$ de um intervalo $[a,b]$ juntamente com uma escolha de pontos $\xi_i \in [x_{i-1},x_i]$, $i=1,\ldots,m$, (os quais formam uma sequência $\xi := (\xi_1,\ldots, \xi_m)$) define-se a respectiva soma de Riemann de $f:[a,b] \to \mathbb{R}^n$ como
A função $f$ dir-se-á então integrável em [a,b] (segundo este ponto de vista), e o integral será o ponto $L \in \mathbb{R}^n$, se
(2)onde $|p|:=\max_{i=1,\ldots,m} (x_i - x_{i-1})$ e $\| \cdot \|$ designa a usual norma euclidiana. Note que, enquanto o $n$ permanece fixo, a única restrição à variação de $m \in \mathbb{N}$ é que o antecedente $|p|<\delta$ da implicação acima se possa verificar.
Mostre que $f:=(f_1,\ldots,f_n)$ é integrável em $[a,b]$ (de acordo com a definição acabada de dar) se e só se cada função coordenada $f_j$, $j=1,\ldots,n$, for integrável em $[a,b]$. E que, no caso de integrabilidade, se tem, de facto, que
(3)i.e., obtém-se que a definição aqui considerada é equivalente à definição que aparece no livro.