As provas poderão ser consultadas na 5ª-feira, dia 10 de Fevereiro, das 12:15 às 12:45, na sala 11.2.24.

Se conseguirem disponibilizar um pouco do vosso tempo para o preencher, isso ajudará a mudar esta disciplina para melhor e os futuros alunos de AMIII ficarão, com certeza, agradecidos. O seu preenchimento é completamente anónimo (para além da informação que decidirem incluir nele).

Após responderem às questões, para que o inquérito seja entregue terão que carregar no botão "Enviar" ou "Submit" e visualizar uma mensagem que confirme que o inquérito foi entregue com sucesso, ou algo semelhante.

Fico desde já agradecido pela disponibilidade que manifestarem. O inquérito encontrar-se-á acessível para resposta e entrega até ao dia 2 de Fevereiro de 2011.

As provas poderão ser consultadas nesse mesmo dia, das 17:00 às 17:30, na sala 11.1.32.

Reparei entretanto, e por acaso, que alguns alunos editaram alguns dos seus posts já depois de eu lhes ter respondido, aparentemente esperando que eu fizesse novo comentário. Acontece que esta plataforma wikidot não emite avisos quando o post é alterado, logo não tenho maneira simples de saber quando isso acontece. Como compreenderão, é humanamente inviável vigiar as várias páginas onde podem ser colocados posts ou comentários, de modo que só respondo a actividade sobre a qual seja automaticamente avisado na minha caixa de correio. Esse é o caso de cada vez que um novo post ou comentário é adicionado a esta wiki, mas não quando um desses itens, anteriormente criado, é editado.

À parte isso, tenho ainda alguns "novos" posts a comentar, o que tentarei fazer assim que possível.

Em relação à colocação de dúvidas na wiki, o vosso colega Curto chamou-me a atenção sobre a conveniência do site http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php, onde é possível construírem-se expressões matemáticas carregando em botões, podendo o código automaticamente produzido ser depois utilizado para ser inserido em mensagens com dúvidas vossas na wiki.

Desde há uns dias, http://amiii.wikidot.com passou em grande parte a estar em acesso livre (i.e., sem necessidade de registo). Ainda assim, algumas facilidades só estão acessíveis quando se navega dentro da conta wikidot e há ainda um conjunto de funcionalidades apenas reservadas aos membros (por exemplo, só os membros podem votar e ver quem votou nos quizzes).

Atendendo a que a lista de problemas para o 2º teste só foi publicada na última semana de aulas, e portanto o apoio a dispensar aos alunos para a compreensão das respectivas demonstrações é agora mais limitado, decidimos que o resultado que incluiremos para demonstrar no 2º teste será escolhido apenas de entre os problemas nº 2 e 3. No caso dos alunos em situação excepcional que lhes permita, na mesma data e em alternativa, efectuar o teste global, o resultado a demonstrar será escolhido de entre o conjunto dos 3 primeiros problemas para o 1º teste e daqueles dois problemas para o 2º teste.

Podem considerar esta decisão como a nossa prenda de Natal!

Para além do apoio que se dará através desta wiki, em caso de necessidade de apoio presencial em Janeiro, tal deve ser combinado directamente com cada professor.

Uma palavra acerca dos quizzes: tal como referido anteriormente, só darei a solução para cada quiz que tenha um mínimo de 30 escolhas de alunos. Como terão reparado pelas soluções indicadas para os quatro primeiros quizzes, em dois deles uma grande maioria dos alunos errou. Como estas pequenas questões têm a ver com erros comuns cometidos em respostas a questões de testes ou mini-testes, e que por vezes exploramos na elaboração de certas questões ou alíneas dos testes (para medirmos até que ponto os alunos estão seguros dos conceitos que deviam dominar), é de toda a conveniência que corrijam as ideias feitas que vos levam a cometer tais erros. Assim, é do vosso interesse participarem com respostas aos quizzes. Entretanto acrescentei mais quatro, um deles a pensar já no Ano Novo!

(i) $f(x_0,y_0)=z_0$;
(ii) o gráfico de $f$ está contido em $S$;
(iii) $f'_x = - g'_x/g'_z, \; f'_y = - g'_y/g'_z$.

Mostre que, dado um qualquer vector pertencente ao plano tangente a $S$ em $(x_0,y_0,z_0)$, existe um caminho em $S$ que passa por $(x_0,y_0,z_0)$ e cujo vector velocidade nesse ponto coincide com o vector dado.

Seja $f:D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ contínua no segmento $\boldsymbol{[} a,b \boldsymbol{]} := \{ a+t(b-a) : t \in [0,1] \} \subset D$ e diferenciável em $\boldsymbol{]} a,b \boldsymbol{[} := \boldsymbol{[} a,b \boldsymbol{]} \setminus \{ a,b \}$. Então existe $c \in \boldsymbol{]} a,b \boldsymbol{[}$ tal que

2. Seja $f:D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ diferenciável, onde $D$ é um aberto convexo (i.e., um aberto tal que $\forall a,b \in D, \boldsymbol{[} a,b \boldsymbol{]} \subset D$). Mostre que se as derivadas parciais de 1ª ordem de $f$ forem nulas em todos os pontos de $D$, então $f$ é uma função constante.

Recordo também o que escrevi a propósito da preparação para o 1º teste:

Este ano o número de aulas é inferior ao do ano passado, por isso existe alguma dificuldade em retirar, durante uma aula, espaço à matéria a leccionar para esclarecer dúvidas sobre matéria dada já há várias aulas atrás. (…)
De modo a conseguir-se gerir esta situação de um modo satisfatório para ambas as partes, seria conveniente que, no caso de não terem entretanto esclarecido as vossas dúvidas por outra via, as colocassem por escrito (…)

até ao final do próximo dia 2 de Dezembro, no local adequado desta wiki.

Só assim se poderá garantir uma resposta em tempo útil.

As provas poderão ser consultadas na 2ª-feira, dia 29 de Novembro, das 18:15 às 18:45, na sala 11.3.21.

Incentivo-vos a participar, para ver se tais erros se eliminam de vez e se deixam de perder cotação por causa deles. Ao fim de algum tempo indicarei, para cada afirmação, se é verdadeira ou falsa, com uma explicação, mas só o farei para cada questão que tiver sido objecto de um nº considerável de escolhas (nunca menos de 30, possivelmente mais de 40). Ao longo do tempo tenho observado que, em geral, só aprende quem estiver predisposto a isso, sendo muitas vezes ineficaz estar a resolver algo em relação ao qual os alunos ainda não sentiram necessidade de obter uma resposta.

Seja $f:D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ contínua no segmento $\boldsymbol{[} a,b \boldsymbol{]} := \{ a+t(b-a) : t \in [0,1] \} \subset D$ e diferenciável em $\boldsymbol{]} a,b \boldsymbol{[} := \boldsymbol{[} a,b \boldsymbol{]} \setminus \{ a,b \}$. Então existe $c \in \boldsymbol{]} a,b \boldsymbol{[}$ tal que

2. Seja $f:D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ diferenciável, onde $D$ é um aberto convexo (i.e., um aberto tal que $\forall a,b \in D, \boldsymbol{[} a,b \boldsymbol{]} \subset D$). Mostre que se as derivadas parciais de 1ª ordem de $f$ forem nulas em todos os pontos de $D$, então $f$ é uma função constante.

2. Seja $a$ um elemento fixo de $\mathbb{R}^n$. Existe alguma função $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, para algum $D$ aberto que contenha $a$, tal que todas as derivadas direccionais $f_u'(a)$ sejam positivas para todos os vectores $u \in \mathbb{R}^n$ tais que $\| u \| = 1$? Se sim, dê um exemplo.

Os alunos devem concentrar-se com a devida antecedência junto às salas 10.2.4, 10.2.5 e 10.2.6.

O formato do teste é o que tem sido praticado nos últimos anos, de modo que basta darem uma vista de olhos por exemplo ao 1º teste do ano passado (cf. zona de Recursos) para saberem com o que devem contar.

Este ano o número de aulas é inferior ao do ano passado, por isso existe alguma dificuldade em retirar, durante uma aula, espaço à matéria a leccionar para esclarecer dúvidas sobre matéria dada já há várias aulas atrás. Por outro lado, é habitual (e, de certo modo, esperado) que algumas dúvidas relativas à matéria para um teste apareçam apenas pouco antes da data marcada para o teste. O tipo de dúvidas a que me refiro costuma incidir mais sobre o modo de atacar determinado tipo de exercício, em especial se não houve muita oportunidade para treinar tal tipo de exercício nas aulas. De modo a conseguir-se gerir esta situação de um modo satisfatório para ambas as partes, seria conveniente que, no caso de não terem entretanto esclarecido as vossas dúvidas por outra via, as colocassem por escrito, até ao final do próximo dia 8 de Novembro, na linha (thread) da folha de exercícios a que se refere. Só assim se poderá garantir uma resposta em tempo útil. Naturalmente o tipo de dúvidas em que estou a pensar é o que acima foi referido (isto é, mais uma solicitação de uma dica para resolver determinado exercício do que propriamente um pedido para que ele seja resolvido neste espaço).

Em vez de contribuir cada um em 10% para a nota final, contribuirão globalmente em 20% para a nota final, mas apenas a melhor das notas será contabilizada.

2. Lista de problemas teóricos para o 1º teste

Para além dos enunciados, para cada problema serão indicadas algumas etapas de uma possível resolução. Durante o teste, e para o problema que for aí incluído, os alunos terão que apresentar a demonstração completa. A mera indicação das etapas que forem listadas nesta wiki será cotada como zero valores.
Evidentemente, se assim o entender, um aluno pode escolher um caminho diferente (desde que correcto, detalhado e completo) para demonstrar o resultado em causa.

As provas podem ser consultadas nesse mesmo dia, das 16:30 às 17:00, na sala 11.2.25.

Entretanto colocarei aqui também alguns comentários às resoluções teóricas.

Seja $f : R \to \mathbb{R}$ uma função limitada, onde $R := [a,b] \times [c,d]$ é um rectângulo em $\mathbb{R}^2$. Se existir um único número real $I$ tal que

independentemente da partição $P$ que se considere para $R$, diz-se que $f$ é integrável (em $R$) e que $I$ é o integral de $f$ (sobre $R$).

1. Prove a proposição sobre integração em subrectângulos:

Seja $f : R \to \mathbb{R}$ integrável. Se $R_1 = [a_1,b_1] \times [c_1,d_1]$ for um subrectângulo de $R$, então $f$ é também integrável em $R_1$ (i.e., $f|_{R_1}$ é integrável).

2. Dê um exemplo em que $\int \!\!\! \int_{R_1} f > \int \!\!\! \int_R f$.

Sejam $f : A \subset \mathbb{R}^n \to B \subset \mathbb{R}^m$ e $h : B \to \mathbb{R}^p$. Sejam $a$ e $b := \lim_{x \to a} f(x)$ pontos de acumulação de $A$ e $B$, respectivamente. A seguinte igualdade é válida desde que exista o limite no segundo membro e se verifique a implicação $x \not= a \Rightarrow f(x) \not= b$:

2. Dê um exemplo onde a conclusão (1) falhe devido à implicação $x \not= a \Rightarrow f(x) \not= b$ não se verificar.

num ponto $(x_0,y_0) \in C$, com $x_0$ um ponto de diferenciabilidade de $f$.

Nota: Pode concretizar a função $f$, i.e., não se exige que considere toda e qualquer função $f$ nas condições dadas.

Sejam $C$ uma curva descrita por um caminho $r : I \to \mathbb{R}^n$ e $t_0 \in I$. Se $r'(t_0)$ existir e for diferente de zero, diz-se que a recta que passa por $r(t_0)$ e tem a inclinação de $r'(t_0)$ é a recta tangente a $C$ em $r(t_0)$.

Como uma curva $C$ pode ser descrita por muitos caminhos $r$ diferentes e esta definição se baseia no cálculo de $r'$, não é à partida claro que deste modo se obtenha sempre a mesma recta tangente num dado ponto de uma dada curva.

Considere, no entanto, o caso em que $C$ é o gráfico de uma função $f:]a,b[ \to \mathbb{R}$, i.e.,

considere um ponto $(x_0,y_0) \in C$, com $x_0$ um ponto de diferenciabilidade de $f$, e considere ainda uma qualquer parametrização $r$ de $C$ tal que $r'(t_0) \not= 0$, onde $t_0$ é tal que $r(t_0)=(x_0,y_0)$. Mostre que, nestas condições, a definição de recta tangente a $C$ em $(x_0,y_0)$ não depende da escolha da parametrização, sendo que o seu declive é sempre dado por $f'(x_0)$.

No presente curso, não são propriamente fornecidas soluções para os exercícios das folhas práticas (para além das que se obtiverem por resolução na aula ou através de esclarecimento de dúvidas), mas há duas vias para se obterem soluções para grande parte destes exercícios ou de outros análogos:

• A pasta AMIII 2007-08, na zona de recursos, contém folhas de soluções para as folhas de exercícios que foram produzidas no ano lectivo 2007-08. O programa da disciplina manteve-se o mesmo desde essa altura, apenas com algumas diferenças de pormenor ou de ênfase e também com diferença na ordem pela qual os tópicos são leccionados. Mas não é difícil detectar os exercícios análogos aos que aparecem nas folhas práticas do corrente ano lectivo e tirar partido da existência de soluções para esses (além disso, esta e outras pastas contêm algumas resoluções de testes).
• Os notebooks LiveMath espalhados ao longo do livro de texto (ou, em alternativa, disponibilizados na zona de recursos, como indicado noutro aviso) permitem muitas vezes construir soluções para exercícios diferentes dos usados na construção de cada notebook, já que os dados de cada um deles são editáveis.

Já sabia que não funcionavam com o Chrome, de modo que costumo usar o IE quando pretendo trabalhar com aqueles notebooks directamente no navegador. No entanto, mais recentemente, utilizadores do Firefox também me disseram que não conseguem aceder a esses notebooks.

Assim, para quem não conseguir resolver o problema de outro modo, criei uma pasta chamada "notebooks LiveMath" dentro de AMIII 2010/11 na zona de Recursos, de modo que podem descarregar os notebooks para os vossos computadores e visualizá-los com a aplicação LiveMath Viewer (freeware), que terão, é claro, que instalar previamente nos vossos computadores. Em princípio os mais antigos são os que aparecem primeiro no livro, embora haja algumas excepções (penso que para os quatro primeiros), quando houve reedições posteriores.

No caso de não quererem estar a descarregar os ficheiros um a um, seleccionem a opção "Open in Wuala", aceitem a instalação "Java" que vos for pedida e, quando o software correspondente abrir, poderão descarregar pastas inteiras de uma vez só. Não precisam de abrir conta no Wuala para esse efeito.

1. O 1º mini-teste é composto por um exercício teórico e um exercício prático.
2. O exercício prático será de um dos tipos I a VI mencionados em Datas, obj e competências - parte 1.doc (embora a lista não deva ser encarada como exclusiva: são admitidas variantes; só para exemplificar, em vez de se pedir recta tangente pode ser pedida recta normal).
3. O exercício teórico consiste na prova detalhada (i.e., com justificação de todos os passos) de um dos resultados listados em RESULTADOS A PROVAR. A escolha do resultado a provar é do aluno.

Tendo em vista o ponto 3 anterior, é de toda a conveniência de cada aluno preparar antecipadamente a prova do resultado (dentro daqueles quatro) que pretende provar no 1º mini-teste, até porque o tempo disponível para a realização do mini-teste (meia-hora) parte do princípio que o aluno já sabe o que vai escrever na parte do exercício teórico.

Recordo também que nenhum desses quatro resultados será provado previamente pelos professores de Análise Matemática III, embora possam, obviamente, ser discutidos com o professor (por iniciativa do aluno), por exemplo nas sessões de orientação tutorial e, de preferência, em grupo. Na verdade, parece-me que a única maneira de poder discutir com alguma eficiência, e com todos os alunos interessados, as provas de tais resultados é através de uma organização do trabalho da seguinte maneira: cada aluno deve começar por pensar por si só na "sua" prova; numa segunda fase deverá discuti-la com outros colegas interessados na mesma questão; só depois, em grupo na OT, devem pedir ajuda ao professor.

Chamo também a atenção que, embora nada substitua uma discussão presencial, alguma discussão pode ser feita através desta wiki: na linha (thread) relativa a cada resultado é possível a troca de mensagens (posts) entre alunos ou entre alunos e professores (mesmo a questão da escrita matemática resolve-se, em grande parte, inspeccionando — e, se necessário, copiando — o código-fonte dos enunciados).
Aliás, tenho em anos anteriores recebido por e-mail algumas mensagens nesse sentido, embora aproveite para deixar desde já claro que no corrente ano lectivo não responderei por e-mail a esse tipo de questões, as quais devem ser canalizadas através desta wiki, na secção própria. Mesmo as dúvidas relativas ao funcionamento da disciplina podem e devem ser canalizadas por essa via (através do fórum), de modo a evitar-se a multiplicação de mensagens sobre um mesmo assunto.

envolvendo funções reais de uma variável real, também agora podemos considerar EDOs vectoriais lineares de 1ª ordem

envolvendo as funções vectoriais $Y,F: I \to \mathbb{R}^n$ e a função real $a: I \to \mathbb{R}$, onde $I$ é um intervalo de números reais (e onde $Y$ é a função incógnita).
Mostre que, se $a$ e $F$ forem contínuas, então para cada $x_0 \in I$ e cada vector $Y_0 \in \mathbb{R}^n$ existe uma única solução da Eq.(2) que satisfaz também a condição inicial $Y(x_0)=Y_0$, e que essa solução é dada, para cada $x \in I$, por

Sejam $C$ uma curva descrita por um caminho $r : I \to \mathbb{R}^n$ e $t_0 \in I$. Se $r'(t_0)$ existir e for diferente de zero, diz-se que a recta que passa por $r(t_0)$ e tem a inclinação de $r'(t_0)$ é a recta tangente a $C$ em $r(t_0)$.

Como uma curva $C$ pode ser descrita por muitos caminhos $r$ diferentes e esta definição se baseia no cálculo de $r'$, não é à partida claro que deste modo se obtenha sempre a mesma recta tangente num dado ponto de uma dada curva.

Considere, no entanto, o caso em que $C$ é o gráfico de uma função $f:]a,b[ \to \mathbb{R}$, i.e.,

considere um ponto $(x_0,y_0) \in C$, com $x_0$ um ponto de diferenciabilidade de $f$, e considere ainda uma qualquer parametrização $r$ de $C$ tal que $r'(t_0) \not= 0$, onde $t_0$ é tal que $r(t_0)=(x_0,y_0)$. Mostre que, nestas condições, a definição de recta tangente a $C$ em $(x_0,y_0)$ não depende da escolha da parametrização, sendo que o seu declive é sempre dado por $f'(x_0)$.

A função $f$ dir-se-á então integrável em [a,b] (segundo este ponto de vista), e o integral será o ponto $L \in \mathbb{R}^n$, se

onde $|p|:=\max_{i=1,\ldots,m} (x_i - x_{i-1})$ e $\| \cdot \|$ designa a usual norma euclidiana. Note que, enquanto o $n$ permanece fixo, a única restrição à variação de $m \in \mathbb{N}$ é que o antecedente $|p|<\delta$ da implicação acima se possa verificar.

Mostre que $f:=(f_1,\ldots,f_n)$ é integrável em $[a,b]$ (de acordo com a definição acabada de dar) se e só se cada função coordenada $f_j$, $j=1,\ldots,n$, for integrável em $[a,b]$. E que, no caso de integrabilidade, se tem, de facto, que

i.e., obtém-se que a definição aqui considerada é equivalente à definição que aparece no livro.

Veja também os ficheiros na pasta do corrente ano lectivo na zona inferior de Avisos e material vário, os quais contêm informação importante sobre a disciplina, incluíndo o modo como a avaliação irá ser feita.