Penso que há alguma confusão na sua formulação. Pelo que percebi sobre aquilo que esperava que desse, penso que a sua ideia seria calcular o comprimento do gráfico do seno no intervalo $[0,2\pi]$.

Se é essa a questão, a parametrização que interessa usar é $\, t \mapsto (t,\sin t)\,$ no referido intervalo. A parametrição que usou percorreu o segmento $[0,1]$ da esquerda para a direita, depois da direita para a esquerda, e a seguir percorreu o segmento $[-1,0]$ da direita para a esquerda e depois da esquerda para a direita (é a variação do seno em $[0,2\pi]$), e por isso é que dá 4.

Usando a parametrização correta, o integral a calcular é

Não creio que seja possível calculá-lo pelas regras habituais de primitivação, mas o seguinte valor aproximado pode ser obtido (por exemplo usando a WolframAlpha): $7,6404$.

Espero ter ajudado!

Estive tentando resolver uma questão e não consigo sair de um impasse…

A questão é sobre a função f(t):[0,1]->R ; f(t)=sin(t).

Como o seno é continuamente diferenciável (já que o cosseno é contínuo), suponho que poderia fazer:

Eu errei algo?

Bem, se esta conta estiver certa, se nós prestarmos atenção no gráfico, vamos ver que o valor deve ser maior que 4, pois se fosse em linha reta, seria 2pi… (aproximadamente 6)…

Então, você poderia me ajudar? Onde eu errei?

Penso que o que queres dizer é que é mais fácil obter a equação na forma de $x$ em função de $y$ (e nesse caso diz-se que o $x$ depende de $y$ — em suma, esta é que é mais fácil). Mas repara que isto deverá ser suficiente para resolver o problema do esboço: é só uma questão de olhares para o sistema de eixos coordenados do ponto de vista adequado.

De qualquer modo, se quiseres obter uma equação com $y$ a depender de $x$, começa por resolver $x=t^2+2t$ em ordem a $t$ como se se tratasse de um equação do 2º grau em $t$ (logo interpretando momentaneamente o $x$ como constante e usando a fórmula resolvente).

r(t) = (t^2 + 2t; t^4 + 1); t € [0; 1]

O meu problema é o seguinte, não consigo criar uma equação com o x dependente de y. Só o contrário. Será que me pude ajudar a resolver esta questão?

As provas poderão ser consultadas na 5ª-feira, dia 10 de Fevereiro, das 12:15 às 12:45, na sala 11.2.24.

Como é que metade dos votantes conseguiu errar nesta questão é para mim um mistério insondável (mas claramente aponta para a necessidade de este tipo de raciocínio ser treinado mais cedo no percurso académico).

Obrigado por me ter respondido e daqui em frente sempre que me surgir alguma duvida ja a saberei como a colocar, e sim nao me exprimi da melhor forma, queria designar por V o valor que me tinha dado para o integral de superficie, nao foi a notaçao mais brilhante realmente!

Ok professor obrigado por tudo e resto de boa noite,

Cumprimentos.

Boa tarde professor,

Gostaria de saber se, nesta pergunta, estou correcto ao não usar nenhuma mudança de coordenadas, pois usando apenas os limites de 0 a 1, para x,y e z, cheguei a um valor ( V = 3). Está correcto?

Caro AlvaSantos,
Primeiro uma questão de forma: fizeste bem em descrever o exercício no título do post; fizeste mal em colocá-lo como resposta a um post sobre outra questão. Para tentar remediar um pouco a situação, estou a responder em 1º nível.

Quanto ao que dizes sobre o exercício, tens (quase) razão: a essência do exercício é o uso do Teorema de Gauss, logo acaba por ser o cálculo do integral triplo da divergência de $F$ sobre o cubo $V$; e daí não haver necessidade de mudança de coordenadas.

Onde erras é novamente num aspecto formal: não é o $V$ que é igual a 3. $V$ é a designação do cubo. Mesmo que, por abuso de notação, quisesses interpretar $V$ como volume do cubo, o seu valor seria 1. O valor 3 que obténs corresponde ao integral de superfície dado no enunciado, embora tivesse sido calculado (via Teorema de Gauss) através de um integral triplo.

Gostaria de saber se, nesta pergunta, estou correcto ao não usar nenhuma mudança de coordenadas, pois usando apenas os limites de 0 a 1, para x,y e z, cheguei a um valor ( V = 3). Está correcto?

Se conseguirem disponibilizar um pouco do vosso tempo para o preencher, isso ajudará a mudar esta disciplina para melhor e os futuros alunos de AMIII ficarão, com certeza, agradecidos. O seu preenchimento é completamente anónimo (para além da informação que decidirem incluir nele).

Após responderem às questões, para que o inquérito seja entregue terão que carregar no botão "Enviar" ou "Submit" e visualizar uma mensagem que confirme que o inquérito foi entregue com sucesso, ou algo semelhante.

Fico desde já agradecido pela disponibilidade que manifestarem. O inquérito encontrar-se-á acessível para resposta e entrega até ao dia 2 de Fevereiro de 2011.

Sendo esses limites constantes e iguais, pode desde já concluir-se q se de facto o limite existir é essa tal constante?

A resposta lógica é sim, pode: é que, pela tua frase, estás a supor que o limite da função existe no ponto; ora, é sabido que se tal acontece então os limites direccionais têm que existir e dar o mesmo valor; assim, o valor que estes derem é o valor do limite da função no ponto.

ou, ainda assim, temos de aplicar a definição pra provar a sua existencia?

A resposta lógica também é sim, tens¹: é que agora não estás a assumir que o limite da função no ponto existe, logo pode não existir, e o facto de os limites direccionais darem sempre o mesmo valor não é garantia que exista o limite da função no ponto e que seja esse valor comum.

As provas poderão ser consultadas nesse mesmo dia, das 17:00 às 17:30, na sala 11.1.32.

Parabéns aos 27 que votaram acertadamente. Os restantes 3 têm que repensar os seus conceitos: a regra dos limites em causa impõe, entre outras coisas, para que possa ser aplicada, que existam os limites do numerador e do denominador; como não existe o limite do numerador, então a única conclusão a tirar é que não podemos aplicar essa regra neste caso.

Ainda assim, como na alínea (a) se pede o cálculo de um integral de superfície do rotacional do campo vectorial, em que o "bordo" da superfície é a curva em questão, a ideia (ou uma alternativa) seria tentar usar o Teorema de Stokes e tirar partido do cálculo já efectuado na alínea (a)…

Expressar o domínio em coordenadas esféricas:
$\sqrt{r} \leq \rho \leq \sqrt{R}$
$0 \leq \theta \leq 2\pi$
$0 \leq \varphi \leq \pi$

A variação do $\varphi$ devia ser de 0 a $\pi/2$, por causa da restrição $z \geq 0$.

Depois a escrever a integração é que tenho dúvidas. Será assim?

$\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{\sqrt{r}}^{\sqrt{R}}\rho^2 \rho^2sin(\varphi)\, d\rho \, d\theta\, d\varphi$

Sendo que o primeiro $\rho^2$ vem da parametrização de $f(x,y,z)$.

Para além da correcção à variação do $\varphi$, decorrente da minha observação anterior, a parte que corresponde ao $f(x,y,z)$ também não está bem, pois $f(x,y,z) = x^2+y^2 = \rho^2 \sin^2 \varphi$.

Neste e noutros exercícios, poderá ser fácil conferires se o resultado é o que se pretende, dependendo da tua perícia de programação. Por curiosidade acabei de fazer uma verificação dessas adaptando um dos plugins do LiveMath. Para fazeres o mesmo nesse programa, terias que ter acesso às opções. Mas suponho que possas fazer o mesmo noutros programas (no Matlab?). O nome das variáveis é irrelevante, assim como o seu significado geométrico: podes usar as designações mais convenientes no programa que estiveres a usar, pois o que importa são as relações (condições) que se definem para as variáveis. Assim, o que tens a fazer é mandar desenhar o conjunto de pontos da forma do terno em (1) com as variáveis a obedecer às condições que definiste para o domínio.

À partida terás que fixar o $a$, para conseguires um desenho. Mas se souberes como deixar o $a$ como parâmetro de animação na tua programação, poderás até ver uma sequência de imagens à medida que vais tomando valores diferentes para o $a$.

Reparei entretanto, e por acaso, que alguns alunos editaram alguns dos seus posts já depois de eu lhes ter respondido, aparentemente esperando que eu fizesse novo comentário. Acontece que esta plataforma wikidot não emite avisos quando o post é alterado, logo não tenho maneira simples de saber quando isso acontece. Como compreenderão, é humanamente inviável vigiar as várias páginas onde podem ser colocados posts ou comentários, de modo que só respondo a actividade sobre a qual seja automaticamente avisado na minha caixa de correio. Esse é o caso de cada vez que um novo post ou comentário é adicionado a esta wiki, mas não quando um desses itens, anteriormente criado, é editado.

À parte isso, tenho ainda alguns "novos" posts a comentar, o que tentarei fazer assim que possível.

Expressar o domínio em coordenadas esféricas:

$\sqrt{r} \leq \rho \leq \sqrt{R}$
$0 \leq \theta \leq 2\pi$
$0 \leq \varphi \leq \pi$

Depois a escrever a integração é que tenho dúvidas. Será assim?

$\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{\sqrt{r}}^{\sqrt{R}}\rho^2 \rho^2sin(\varphi)\, d\rho \, d\theta\, d\varphi$

Sendo que o primeiro $\rho^2$ vem da parametrização de $f(x,y,z)$.

Uma dúvida relativamente à questão 5-b desta folha.
Depois de muito pensar chego ao seguinte resultado para a parametrização, que gostaria que me dissesse se está correcto:

Com $0 \leq \rho \leq a sin(\theta) \wedge 0 \leq \theta \leq \pi$

Seria pedir muito resolver este exercício na íntegra caso esteja mal, a título de exemplo para outros exercícios.
É que estou com alguma dificuldade na parte da parametrização de superfícies, e parece-me mais ou menos geral depois de ver a discussão nos comentários.

mas o

tambem pode variar entre

para a parte de baixo do cone, certo?

o resultado final seria ?

Não verifiquei neste momento qual deverá ser o resultado final, mas concordo com toda a descrição que fazes do cálculo directo.

Os testes aqui apresentados destinam-se a decidir sobre a natureza desses pontos críticos.

De qualquer modo — e caso fosse esta a tua dúvida —, é verdade que antes de determinares os pontos críticos não poderás aplicar estes testes.

Mas revê também todas as soluções que apresentas, pois nenhuma está correcta (mesmo supondo que estivesse correcta a variação do $r$). Embora me pareça que todos os erros se devem a distracção, por isso não será difícil obteres as descrições correctas.

(1) e (2) estão bem.

Em (3), em vez da parte $\displaystyle{\frac{2b^2}{a}}$ obtive $\, \displaystyle{\frac{b^2}{a^2}}$.

Em (4), no extremo superior do integral interior deveria ser $a$ em vez de $a^2$ (para ser coerente com (2)) — deve ter sido uma gralha. O resto estaria bem se (3) estivesse (enfim, em termos de notação, em vez de $\partial r \partial \theta$ devia ser $drd\theta$).

Basicamente há duas maneiras de resolver o problema:

Uma delas é trocar a ordem das variáveis na parametrização, ficando com

Isto parece ridiculamente simples, mas repara que como o vector normal em causa se calcula através do determinante de uma matriz, e como trocar as variáveis vai ter como consequência uma troca de duas linhas nessa matriz, por um conhecido resultado de Álgebra Linear o sinal no final aparecerá trocado, ou seja, obténs um vector normal com sentido contrário ao que tinhas inicialmente, que é o que pretendias.

A outra possibilidade, e uma vez que se sabe (como se acabou de explicar), que há sempre maneira de construir uma parametrização em que o vector normal venha com o sentido que se pretende, é manter a parametrização original mas multiplicar por $-1$ o integral que te calcula o fluxo com essa parametrização original.

EDIT: Eram de facto alguns erros de interpretação das condições…
Para o último problema é que não consigo perceber qual o erro…

Para o problema 1 tenho os seguintes resultados:

a) $0\leq \theta \leq \pi\: \wedge \: 0 \leq r \leq1$
c) $\pi/6\leq \theta \leq \pi/3\: \wedge \: 1 \leq r \leq2$
d) $0\leq \theta \leq \pi/4\: \wedge \: 3\pi/4 \leq \theta \leq \pi\: \wedge \: 0 \leq r \leq2$
e) $0\leq \theta \leq \pi/4\: \wedge \: 2\cos\theta\leq r\leq 4\cos\theta$

$r(t) \mapsto (2cos\, t,2sen\, t,0)$

Os alunos em situação excepcional que lhes permita, na mesma data e em alternativa, efectuar o teste global, devem concentrar-se com a devida antecedência junto à sala C.3.10.

usando coordenadas cilindricas posso parametrizar o cone como (nesta parte é onde tenho mais dúvidas…)

depois pela formula

A expressão para o volume em coordenadas cartesianas está bem. Já no caso de coordenadas cilíndricas está mal. São aí cometidos dois erros:

1. A interpretação geométrica do volume de um sólido como sendo o integral triplo da função 1 sobre a região ocupada pelo sólido baseia-se na construção/definição do integral triplo, onde o contexto é cartesiano. Analogamente para a interpretação geométrica da área de uma superfície plana como sendo o integral duplo da função 1 sobre a região plana ocupada pela superfície. Assim, por exemplo, embora um círculo unitário centrado na origem (no plano cartesiano) se descreva em coordenadas polares através do rectângulo (em coordenadas polares) $[0,2\pi] \times [0,1]$, a sua área (que é $\pi$) é diferente de $\int_{[0,2\pi]} \int_{[0,1]} 1 \, dr\, d\theta$, que dá $2\pi$ (i.e., a área daquele rectângulo no plano polar).

Recorda, a este propósito, que a fórmula para o cálculo da área de uma superfície (parametrizada) entra com o factor $\| \frac{\partial r}{\partial u} \times \frac{\partial r}{\partial v} \|$, o qual depende da parametrização $r$ escolhida para a superfície.

Em suma, é necessário especial cuidado com interpretações geométricas: se foram feitas com base em coordenadas cartesianas, não se pode extrapolar que fórmulas idênticas valham com descrições a partir de outros sistemas de coordenadas.

Voltando ao problema em discussão, se pretenderes uma expressão para o volume em causa através de coordenadas cilíndricas, o que tens a fazer é uma mudança para variáveis cilíndricas na expressão que obtiveste usando coordenadas cartesianas.

2. O segundo erro que cometes é na descrição do sólido em coordenadas cilíndricas: a variação do $z$ depende da variação do $r$; ou, se preferires olhar de maneira diferente, a variação do $r$ depende da variação do $z$. Consulta, a este propósito, a discussão em http://amiii.wikidot.com/forum/t-283852/folha-8#post-964420.