5 Optimização e estudo de funções

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De acordo com o anunciado em 3 Diferenciação, exploraremos agora, na primeira secção, a utilidade das derivadas na determinação de extremos de funções reais de várias variáveis reais. Trata-se de um problema com implicações práticas importantes, pois a optimização move grande parte dos nossos impulsos: estamos provavelmente quase sempre interessados em minimizar os custos e maximizar os proveitos, quando realizamos uma tarefa.

Do ponto de vista da contribuição que as derivadas podem dar para este tipo de problemas, recorda-se que a ideia, no caso de funções reais de uma só variável real, é que, num ponto interior de um domínio de uma função diferenciável onde esta atinja um máximo ou um mínimo (locais), a recta tangente ao correspondente ponto do gráfico da função é horizontal, logo a derivada é nula nesse ponto do domínio. No caso de funções de várias variáveis, num tal ponto do gráfico o plano tangente deverá ser horizontal, logo as derivadas parciais em causa deverão ser nulas.

No caso de funções de uma só variável, a averiguação sobre a existência de extremo local num ponto crítico (i.e., num ponto onde a derivada se anule) tanto pode ser feita por análise sobre a monotonia da função à esquerda e à direita do ponto, como pela análise do sinal da segunda derivada da função nesse ponto. No caso de funções de várias variáveis, será, claramente, mais cómodo ter um critério que tire partido das segundas derivadas.

Na segunda secção pretende fazer-se um estudo mais fino sobre funções, desenvolvendo considerações sobre alguns dos tópicos abordados ao longo deste curso.


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