5.1 Cálculo de extremos - parte 3

página anterior: parte 2

Sumário

Passamos agora à consideração do problema da determinação de extremos absolutos de funções, cuja resolução se apoia fortemente no Teorema dos valores extremos enunciado na parte 4 da secção 2.1.

Assim, para se determinarem os extremos absolutos de uma função contínua num subconjunto limitado e fechado, pode proceder-se do seguinte modo:

  1. obter os pontos críticos em pontos de diferenciabilidade da função (em particular, estão apenas a considerar-se aqui os pontos interiores);
  2. considerar os pontos interiores onde a função não é diferenciável (por vezes também se designam tais pontos por críticos);
  3. considerar os pontos da fronteira do domínio da função, ou apenas os extremantes da restrição da função a essa fronteira (ou algo intermédio — cf. exemplo em baixo);
  4. calcular os valores da função em todos os pontos anteriores; o menor valor será o mínimo absoluto da função; o maior valor será o máximo absoluto da função.

Ilustramos com um exemplo:

Exemplo

Pretende-se determinar os extremos absolutos de $f(x,y) := x^2+y^2-x-y+1$ em $D := \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 \leq 1 \}$.

1. A função é diferenciável no interior do domínio e é fácil verificar que tem aí um único ponto crítico, a saber, $(1/2,1/2)$. Embora não seja necessário para a conclusão a obter seguindo o procedimento explicado em cima, pode até verificar-se, com a ajuda do teste das derivadas de 2ª ordem, que se trata de um minimizante local.

2. Todos os pontos interiores são de diferenciabilidade, como se indicou no passo anterior, logo não há nada a fazer no presente passo.

3. A fronteira de $D$ é formada pela circunferência de raio 1 centrada na origem. Pode ser descrita por uma função de uma só variável, um caminho, por exemplo o bem conhecido

(1)
\begin{align} r(t) := (\cos t, \sin t), \quad t \in [0,2\pi]. \end{align}

A composição $f \circ r$ dá, para $t \in [0,2\pi]$, exactamente os mesmos valores que $f$ em $\partial D$. Esta função $f \circ r$, sendo contínua num intervalo limitado e fechado, atinge os seus extremos absolutos em pontos desse intervalo, e, como se sabe da análise de funções de uma variável, os correspondentes extremantes têm de estar no conjunto formado pelos pontos críticos (de diferenciabilidade de $f \circ r$ ou outros) do interior do intervalo e pelos extremos do intervalo.

É fácil verificar que os pontos críticos acabados de referir (portanto relativos à função $f \circ r (t) = 2 - \cos t - \sin t$, $t \in [0,2\pi]$), são os pontos $t= \pi/4$ e $t=5\pi/4$, a que correspondem, respectivamente, os pontos $(\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2)$ e $(-\sqrt{2}/2, -\sqrt{2}/2)$ de $\partial D$. Aos pontos fronteiros $t=0$ e $t=2\pi$ corresponde o ponto $(1,0)$ de $\partial D$.

4. Como

(2)
\begin{align} f(1/2,1/2) = 1/2, \quad f(\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2) = 2-\sqrt{2}, \quad f(-\sqrt{2}/2, -\sqrt{2}/2) = 2+\sqrt{2} \quad \mbox{e} \quad f(1,0) = 1, \end{align}

então o mínimo absoluto de $f$ é $1/2$, atingido em $(1/2,1/2)$, e o máximo absoluto é $2+\sqrt{2}$, atingido em $(-\sqrt{2}/2, -\sqrt{2}/2)$.

extremos.png?download=true

Ficheiro the para manipular no LiveMath Viewer: extremos.the.


Seguir para a parte 4 ou adicionar um comentário em baixo.

Add a New Comment
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5 License.