5.1 Cálculo de extremos - parte 2

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Pretende-se aqui estabelecer um teste que use as derivadas de 2ª ordem de uma função para decidir se um dado ponto crítico é, ou não é, um extremante. Começamos pelas seguintes definições.

Definições de (matriz) hessiana e de (determinante) hessiano

Sejam $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ e $a \in {\rm int}\, D$. Supondo que existem as derivadas parciais de 2ª ordem $\frac{\partial^2 f}{\partial{x_i}\partial{x_j}}(a)$, $i,j = 1, \ldots,n$, define-se a (matriz) hessiana de $f$ em $a$ como

(1)
\begin{align} H\! f(a) := \Big[ \frac{\partial^2 f}{\partial{x_i}\partial{x_j}}(a) \Big]_{i,j=1}^n. \end{align}

Define-se o (determinante) hessiano de $f$ em $a$ como o determinante ${\rm det}\, H\! f(a)$ de $H\! f(a)$.

Proposição (teste dos valores próprios da hessiana)

Sejam $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ e $a \in {\rm int}\, D$. Se $\nabla f(a) =0$ e se as derivadas de 2ª ordem de $f$ existirem e forem contínuas numa bola aberta centrada em $a$, então

  1. se $H\! f(a)$ tiver pelo menos um valor próprio positivo e um outro negativo, $a$ é ponto de sela de $f$;
  2. se todos os valores próprios de $H\! f(a)$ forem positivos, $f(a)$ é um mínimo local de $f$;
  3. se todos os valores próprios de $H\! f(a)$ forem negativos, $f(a)$ é um máximo local de $f$.

Apresentaremos a seguir um critério que evita o cálculo dos valores próprios em cima referidos (o qual exige a resolução de equações polinomiais de grau $n$). Recordamos, para esse efeito, o significado de menores principais de uma matriz:

Definição de menores principais de uma matriz

Os menores principais de uma matriz $[ a_{ij} ]_{i,j=1}^n$ são os determinantes das submatrizes $[ a_{ij} ]_{i,j=1}^k$, para $k = 1, \ldots, n$.

Corolário (teste dos menores principais da hessiana)

Sejam $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ e $a \in {\rm int}\, D$. Se $\nabla f(a) =0$, se as derivadas de 2ª ordem de $f$ existirem e forem contínuas numa bola aberta centrada em $a$, e se ${\rm det}\, H\! f(a) \not= 0$, então

  1. se todos os menores principais de $H\! f(a)$ forem positivos, $f(a)$ é um mínimo local de $f$;
  2. se os menores principais de $H\! f(a)$ forem alternadamente negativos e positivos, começando o primeiro por ser negativo, $f(a)$ é um máximo local de $f$;
  3. se nenhuma das duas situações anteriores ocorrer, $a$ é ponto de sela de $f$.

Exercício

Classifique os pontos críticos da função $f(x,y,z) := x^2+y^2+z^2+xy$, $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$.

Exercício

Considere a função $f(x,y,z) := x^4+y^4+z^4-4xyz$, $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$. Mostre que tem exactamente cinco ponto críticos e que o teste anterior é conclusivo para quatro deles (atingindo $f$ mínimos locais nesses quatro).

No caso de funções de duas variáveis, o corolário anterior dá imediatamente origem ao seguinte:

Corolário (teste das derivadas de 2ª ordem para funções de duas variáveis)

Sejam $f : D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ e $a \in {\rm int}\, D$. Se $\nabla f(a) =0$ e se as derivadas de 2ª ordem de $f$ existirem e forem contínuas numa bola aberta centrada em $a$, então

  1. se ${\rm det}\, H\! f(a) > 0$ e $f_{xx}(a) > 0$, $f(a)$ é um mínimo local de $f$;
  2. se ${\rm det}\, H\! f(a) > 0$ e $f_{xx}(a) < 0$, $f(a)$ é um máximo local de $f$;
  3. se ${\rm det}\, H\! f(a) < 0$, $a$ é ponto de sela de $f$.

Exercício

Classifique os pontos críticos da função $f(x,y) := x^3-3x^2+y^2$, $(x,y) \in \mathbb{R}^2$.


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