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Definições de máximo, mínimo e extremo
Sejam $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ e $a \in D$.
(a) Diz-se que $f(a)$ é o máximo global (ou máximo absoluto) de $f$ se $f(a) \geq f(x), \, \forall x \in D$.
(b) Diz-se que $f(a)$ é o mínimo global (ou mínimo absoluto) de $f$ se $f(a) \leq f(x), \, \forall x \in D$.
(c) Diz-se que $f(a)$ é um máximo local (ou máximo relativo) de $f$ se for o máximo global de $f|_{D \cap B_r(a)}$, para algum $r>0$.
(d) Diz-se que $f(a)$ é um mínimo local (ou mínimo relativo) de $f$ se for o mínimo global de $f|_{D \cap B_r(a)}$, para algum $r>0$.
(e) Um extremo de $f$ é um qualquer seu máximo ou mínimo.
Os pontos $a$ onde os extremos são atingidos dizem-se extremantes — minimizantes no caso de $f(a)$ ser mínimo; maximizantes no caso de $f(a)$ ser máximo.
Proposição (Teorema de Fermat)
Seja $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ diferenciável em $a \in {\rm int}\, D$. Se $f(a)$ é um extremo de $f$, então $\nabla f (a) = 0$.
Uma análise a esta prova permite rapidamente concluir que se provou mais do que o que se enunciou na proposição em cima, a saber, que em extremantes interiores a domínios de funções reais de várias variáveis as respectivas derivadas segundo qualquer vector, desde que existam, são nulas.
Definição de ponto crítico ou de estacionaridade
Seja $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ diferenciável em $a \in {\rm int}\, D$. Se $\nabla f (a) = 0$, diz-se que $a$ é um ponto crítico (ou ponto de estacionaridade) de $f$.
Assim, nestes termos, o que o Teorema de Fermat, em cima considerado, nos diz é que os extremos de $f$, que ocorram em pontos de diferenciabilidade desta função, só poderão ocorrer em pontos críticos. É bem sabido que, mesmo no caso de funções de uma só variável, nem todos os pontos críticos são extremantes, logo o mesmo sucede no caso de funções de várias variáveis: de facto, um exemplo típico onde tal acontece é no ponto 0 do domínio da função $f(x) := x^3$, $x \in \mathbb{R}$, de modo que, como facilmente se vê, também o ponto (0,0) é um ponto crítico da função $f(x,y) := x^3$, $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, onde esta não atinge qualquer extremo. No entanto, um exemplo mais interessante do que este, que tira realmente partido das duas variáveis, é o que se ilustra a seguir (e que justifica a designação de ponto de sela usada para tais pontos):Ficheiro the para manipular no LiveMath Viewer: critico.the.
Definição de ponto de sela
Seja $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ diferenciável em $a \in {\rm int}\, D$. Se $a$ for um ponto crítico de $f$ mas não for um seu extremante, diz-se que é um ponto de sela de $f$.
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