4.3 Teoremas de Green, de Stokes e de Gauss - parte 2

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Definição de rotacional

Sejam $D$ um aberto de $\mathbb{R}^3$ e $f = (m,n,p) : D \to \mathbb{R}^3$ diferenciável. O rotacional de $f$ é

(1)

\begin{align} {\rm rot}\, f := \nabla \times f := \left| \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ m & n & p \end{array} \right| := \Big( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial n}{\partial z} \Big) \hat{i} + \Big( \frac{\partial m}{\partial z} - \frac{\partial p}{\partial x} \Big) \hat{j} + \Big( \frac{\partial n}{\partial x} - \frac{\partial m}{\partial y} \Big) \hat{k}. \end{align}

Nesta cadeia de identidades, as três primeiras expressões devem ser encaradas como notações ou mnemónicas para o conceito de rotacional. Em particular, na segunda e terceira expressões o símbolo $\nabla$ está a ser tratado como um vector de $\mathbb{R}^3$, mas cujas coordenadas são os operadores diferenciais $\frac{\partial}{\partial x}$, $\frac{\partial}{\partial y}$ e $\frac{\partial}{\partial z}$, em vez de números reais; no entanto, ao aplicar-se formalmente a definição de produto externo, de cada vez que um desses operadores diferenciais se junta com uma função deve encarar-se a expressão obtida como a derivada dessa função em relação à variável indicada, e não como um produto (que não faz sentido!) entre o operador diferencial e a função.

Observe-se que, com a introdução deste conceito, a condição necessária para um campo ser conservativo, discutida na secção 4.2, pode, no caso de $n=3$, ser equivalentemente descrita por ${\rm rot}\, F = 0$.

Proposição (Teorema de Stokes)

Seja $D \subset \mathbb{R}^2$ um domínio de parametrização que seja também uma região de integração, que tenha como fronteira uma curva fechada simples, e para o qual o Teorema de Green seja válido¹. Seja $\alpha : [a,b] \to \mathbb{R}^2$ um caminho fechado simples e seccionalmente regular que oriente $\partial D$ positivamente. Seja $r : D \to \mathbb{R}^3$ uma superfície parametrizada que admita derivadas parciais de 2ª ordem contínuas num aberto que contenha $D$. Se $f : r(D) \to \mathbb{R}^3$ for continuamente diferenciável, então

(2)

\begin{align} \int\!\!\!\int_r {\rm rot}\, f \cdot \hat{n} \, dS = \int_{r \circ \alpha} f \cdot d(r \circ \alpha). \end{align}

Omite-se a prova, a qual tira partido do Teorema de Green. Aliás, observe-se que no caso de $r(x,y)=(x,y,0)$ e $f(x,y,z)=(m(x,y),n(x,y),0)$ se obtém

(3)

\begin{align} \int\!\!\!\int_D n_x(x,y) - m_y(x,y) \, dx\, dy \, = \, \int_\alpha m(x,y)\, dx + n(x,y)\, dy, \end{align}

e portanto o Teorema de Stokes constitui uma generalização do Teorema de Green.

Em (2), e apesar da presença do $\hat n$, a definição do integral de superfície deve, é claro, ser entendida no sentido em que foi dada na parte 6 da secção 3.2, não sendo, portanto, estritamente necessária a existência de $\hat n$.

Exemplo

Pretendendo-se calcular

(4)

\begin{align} \int\!\!\!\int_r {\rm rot}\, (-y,x,z) \cdot \hat{n}\, dS, \end{align}

onde $r(u,v) := (u \cos v, u \sin v, 1-u^2)$, $u \in [0,1]$, $v \in [0,2\pi]$, é uma parametrização para a secção, acima do plano x0y, do parabolóide de revolução com vértice em (0,0,1) e concavidade voltada para baixo, estamos em condições de poder aplicar o Teorema de Stokes e obter o resultado através do cálculo de

(5)

\begin{align} \int_{r \circ \alpha} (-y,x,z) \cdot d(r \circ \alpha), \end{align}

onde $\alpha$ é um caminho fechado simples e seccionalmente regular que orienta $[0,1] \times [0,2\pi]$ tal como ilustrado na figura do lado esquerdo em baixo.

Por sua vez, e como é fácil de ver, $r \circ \alpha$ descreve as curvas a azul e a vermelho ilustradas na figura do lado direito em cima, no sentido indicado. Como a curva a vermelho é descrita uma vez num sentido e uma segunda vez em sentido contrário, globalmente não contribui para o valor do integral de linha em cima. Assim, para o cálculo deste integral só interessa a parametrização da curva azul, e já sabemos que qualquer uma que seja fechada simples e regular serve. Usando a parametrização canónica dada por $t \mapsto (\cos t, \sin t, 0)$, para $t \in [0,2\pi]$, obtém-se

(6)

\begin{eqnarray} \int_{r \circ \alpha} (-y,x,z) \cdot d(r \circ \alpha) & = & \int_0^{2\pi} (-\sin t,\cos t,0) \cdot (-\sin t,\cos t,0) \, dt \\ & = & \int_0^{2\pi} \sin^2 t + \cos^2 t \: dt \;\; = \;\; 2\pi. \end{eqnarray}

Notas de rodapé

1. Aqui podemos considerar, não apenas regiões simultaneamente de tipo I e de tipo II, mas também domínios como o que se construiu no final da parte 1, desde que delimitado por curva fechada simples.

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