4.3 Teoremas de Green, de Stokes e de Gauss - parte 1

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Definição de caminho (seccionalmente) regular

Um caminho $r : [a,b] \to \mathbb{R}^n$ diz-se regular se for suave (i.e., continuamente diferenciável) e se $r'(t) \not= 0$, $\forall t \in [a,b]$. Diz-se seccionalmente regular se existe uma partição $\{ t_0, t_1, \ldots, t_{m-1}, t_m \}$ de $[a,b]$ tal que, para cada $j=1, \ldots, m$, $\; r|_{[t_{j-1},t_j]}$ é regular.

Definição de orientação positiva da fronteira de conjuntos de tipo I ou de tipo II

Seja $D \subset \mathbb{R}^2$ uma região de tipo I ou de tipo II cuja fronteira seja uma curva fechada simples $C$. Diz-se que uma parametrização fechada simples e seccionalmente regular $r$ de $C$ orienta esta fronteira positivamente se, para valores crescentes do argumento de $r$, este caminho descreve $C$ no sentido directo (i.e., contrário ao do movimento dos ponteiros de um relógio).

Esta não é uma definição no sentido rigoroso do termo, mas espera-se que permita entender-se exactamente o que se pretende de cada vez que é invocada. Por exemplo, se $D$ for a região de tipo I

(1)
\begin{align} \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 : x \in [a,b]\, \wedge \, y \in [\varphi_1(x),\varphi_2(x)] \}, \end{align}

e estiver nas condições da definição, um caminho que oriente positivamente a fronteira de $D$ e que tenha $(a,\varphi_1(a))$ como extremos inicial e final, terá de passar pelos pontos $(b,\varphi_1(b))$, $(b,\varphi_2(b))$ e $(a,\varphi_2(a))$ por esta ordem.

Considerações análogas se podem fazer relativamente a regiões de tipo II.

Proposição (Teorema de Green)

Seja $D \subset \mathbb{R}^2$ uma região simultaneamente de tipo I e de tipo II cuja fronteira seja uma curva fechada simples e tal que as funções $\varphi_1$, $\varphi_2$, $\psi_1$ e $\psi_2$ (notação tal como na definição na parte 3 da secção 2.2) sejam continuamente diferenciáveis excepto eventualmente num número finito de pontos. Seja $r$ um caminho fechado simples e seccionalmente regular que oriente $\partial D$ positivamente. Se $f, g : D \to \mathbb{R}$ forem continuamente diferenciáveis, então

(2)
\begin{align} \int\!\!\!\int_D g_x(x,y) - f_y(x,y) \, dx\, dy \, = \, \int_r f(x,y)\, dx + g(x,y)\, dy. \end{align}

As condições, impostas em cima, para se poder aplicar (2) podem relaxar-se consideravelmente. Não o faremos aqui em geral, mas é fácil, em muitos casos, avaliar se (2), ou uma sua extensão, pode ser usada. Considere, por exemplo, um domínio $D$ como o ilustrado na figura em baixo (região a verde), união finita de regiões simultaneamente de tipo I e de tipo II (como se procurou evidenciar pelos traços feitos dentro de $D$) obedecendo às condições impostas na proposição em cima.

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Exercício

Comece por aplicar (2) a cada uma das subregiões indicadas, que compõem $D$. Observe depois que, ao adicionar os integrais obtidos, no membro esquerdo obtém o integral duplo sobre todo o $D$, enquanto no membro direito ocorre um curioso efeito de cancelamento que faz com que no final sobrem três integrais de linha, um sobre a parte exterior da fronteira de $D$ e os outros dois sobre as duas partes interiores da fronteira de $D$. Com uma diferença: no 1º integral a parametrização descreve a curva no sentido directo, enquanto nos outros dois as parametrizações descrevem as curvas em sentido retrógrado.

Se definirmos como positivo, para uma região como a representada ao lado, o sentido que deixa a região à esquerda, então poderemos dizer, mesmo no caso das partes interiores da fronteira, que as parametrizações que aparecem nos respectivos integrais também descrevem as suas curvas em sentido positivo.


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