4.2 Integrais de campos conservativos

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Proposição (fórmula de Barrow para integrais de linha)

Sejam $D$ um aberto de $\mathbb{R}^n$ e $f : D \to \mathbb{R}$ continuamente diferenciável. Dado qualquer caminho seccionalmente suave $r : [a,b] \to D$,

(1)
\begin{align} \int_r \nabla f \cdot dr = f(r(b)) - f(r(a)). \end{align}

No fundo, o que (1) nos diz é que o valor daquele integral depende apenas de $f$, dos extremos $r(a)$ e $r(b)$ da curva descrita por $r$ e da ordem pela qual são considerados, sendo independente da parametrização e até da própria curva. Em particular, no caso de a curva ser fechada (i.e., caso os extremos inicial e final coincidam), o integral de linha em causa valerá 0.

Definições de campo conservativo e de potencial

Seja $D$ um aberto de $\mathbb{R}^n$. Um campo vectorial $F : D \to \mathbb{R}^n$ diz-se conservativo se existir um campo escalar $f : D \to \mathbb{R}$ diferenciável tal que $\nabla f = F$. Uma tal função $f$ diz-se então um potencial de $F$.

A proposição em cima pode então ser parafraseada dizendo que o integral de linha de um campo conservativo contínuo é independente da curva imagem do caminho em causa, desde que se mantenham os extremos inicial e final; e que o valor do integral se obtém por subtracção do valor do potencial no extremo inicial ao seu valor no extremo final.

Nem todos os campos são conservativos, logo não podemos esperar em geral que o valor do integral de linha de um campo vectorial seja independente da curva que une os extremos inicial e final do caminho. Aliás, é até possível provar que, em domínios abertos e conexos por arcos, os únicos campos vectoriais contínuos cujos integrais de linha dependem apenas dos extremos inicial e final dos caminhos (seccionalmente suaves) são os conservativos. Assim, para tais domínios, se um campo vectorial contínuo não for conservativo há de certeza um par de extremos inicial e final para o qual o integral de linha desse campo depende da curva que os une.

Proposição (condição necessária para um campo ser conservativo)

Sejam $D$ um aberto de $\mathbb{R}^n$ e $F = (F_1, \ldots, F_n) : D \to \mathbb{R}^n$ continuamente diferenciável. Se $F$ for conservativo, então

(5)
\begin{align} \frac{\partial F_j}{\partial x_i} = \frac{\partial F_i}{\partial x_j}, \quad \forall i,j = 1, \ldots, n. \end{align}

A condição (5) é meramente necessária, como se ilustra através do seguinte exercício:

Exercício

Sejam $D = \mathbb{R}^2 \setminus \{ (0,0) \}$ e $F$ definido em $D$ por

(8)
\begin{align} F(x,y) : = \Big( \frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2} \Big). \end{align}

Mostre que (5) se verifica neste caso mas que, no entanto, $F$ não é conservativo (sugestão: calcule o integral de linha de $F$ ao longo de uma parametrização adequada da circunferência de centro na origem e de raio 1).

É possível, no entanto, provar que a condição necessária (5), para que um campo continuamente diferenciável seja conservativo, é também suficiente no caso importante de domínios abertos convexos, isto é, no caso de conjuntos abertos $D$ que contenham os segmentos que unem qualquer par de pontos em $D$.

Exemplo

Considere-se a questão do cálculo de $\int_r 2x \, dx + 2y \, dy$, onde $r(t) := (1-t)\, (0,0) + t\, (1,2)$, $t \in [0,1]$. Tem-se $F(x,y) = (2x,2y)$, que é continuamente diferenciável no aberto convexo $\mathbb{R}^2$ e verifica

(9)
\begin{align} \frac{\partial 2x}{\partial y} = 0 = \frac{\partial 2y}{\partial x}, \end{align}

logo, pelo que se acabou de se indicar em cima, $F$ é conservativo. Como um potencial $f$ terá que verificar as igualdades

(10)
\begin{align} f_x = 2x \quad \mbox{e} \quad f_y = 2y, \end{align}

então $f(x,y) = x^2+ c(y)$, donde $2y = f_y(x,y) = c'(y)$, e portanto $c(y) = y^2 + c$ e podemos tomar $f(x,y)=x^2+y^2$. O integral em causa virá então igual a $f(1,2)-f(0,0)$, isto é, 5.


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