4.1 Mudança de variáveis - parte 2

página anterior: parte 1

Na verdade, verifica-se o seguinte resultado, cuja prova omitimos:

Proposição (mudança de variáveis na integração tripla)

Sejam $A \subset \mathbb{R}^3$ uma região de integração1 e $f : A \to \mathbb{R}$ uma função limitada cujo conjunto de pontos de descontinuidade tem conteúdo nulo. Seja $D \subset \mathbb{R}^3$ uma outra região de integração e $\phi : D \to A$ uma função continuamente diferenciável com as seguintes propriedades: existem abertos $D_1 \subset D$ e $A_1 \subset A$ tais que $\phi$ é bijectiva de $D_1$ para $A_1$, $\det \phi' \not=0$ em $D_1$ e $D \setminus D_1$, $A \setminus A_1$ têm conteúdo nulo. Então

(3)
\begin{align} \int\!\!\!\int\!\!\!\int_A f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz = \, \int\!\!\!\int\!\!\!\int_D (f \circ \phi)(u,v,w) \, |\det \phi'(u,v,w)| \, du \, dv \, dw. \end{align}

Definição de jacobiano

O determinante $\det \phi'$ da matriz jacobiana de $\phi$, que aparece em (3), designa-se por determinante jacobiano (ou, simplesmente, jacobiano) de $\phi$. É também habitual denotá-lo por

(4)
\begin{align} \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}, \end{align}

onde aqui $x = x(u,v,w)$, $y = y(u,v,w)$ e $z=z(u,v,w)$ desempenham os papéis de funções coordenadas de $\phi$.

Exercício

Mostre que
(a) numa mudança de variáveis cartesianas para cilíndricas,

(5)
\begin{align} \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)} = r\,; \end{align}

(b) numa mudança de variáveis cartesianas para esféricas,

(6)
\begin{align} \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\theta,\varphi)} = -\rho^2 \sin \varphi\,. \end{align}

Exercício

Calcule o seguinte integral usando coordenadas cilíndricas:

(7)
\begin{align} \int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_0^1 (\sqrt{x^2+y^2} + z) \, dz \, dy \, dx. \end{align}

Exercício

Calcule o seguinte integral usando coordenadas esféricas:

(8)
\begin{align} \int_0^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{-\sqrt{1-x^2-y^2}}^{\sqrt{1-x^2-y^2}} \frac{x}{x^2+y^2+z^2} \, dz \, dy \, dx. \end{align}

(ignore o facto de o integral ser impróprio, já que a função integranda não é limitada).


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