4.1 Mudança de variáveis - parte 2

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Ver motivação para a fórmula de mudança de variáveis em integrais triplos

Se achar a seguinte explicação demasiado esotérica, passe à frente!

Na parte anterior observámos que, para se obter a fórmula de mudança de variáveis $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ para $(u,v) \in \mathbb{R}^2$ nos integrais duplos, o elemento de área $dx\, dy$ deve ser substituído pelo elemento de área ${\rm factor}(u,v)\, du\, dv$, onde o ${\rm factor}(u,v)$ se determinou da seguinte maneira: designando por $\phi = (x,y) : D \subset \mathbb{R}^2 \to A \subset \mathbb{R}^2$ a função responsável pela mudança de variáveis, construiu-se uma parametrização $r = (x,y,0) : D \to A \times \{ 0 \}$, tendo-se argumentado que a área de $A$ deve coincidir com a área da superfície parametrizada $A \times \{ 0 \} \subset \mathbb{R}^3$; por sua vez, na construção do integral duplo que permite calcular esta área aparecem as parcelas ${\rm factor}(u,v) \Delta u \Delta v$, que são devidas ao facto de, localmente, a área de uma pequena porção da superfície estar a ser substituída pela área do paralelogramo determinado, em $\mathbb{R}^3$, pelos vectores $\frac{\partial r}{\partial u}(u,v) \Delta u$, $\frac{\partial r}{\partial v}(u,v) \Delta v$. E como a terceira componente de tais vectores é nula, pode também dizer-se que tal paralelogramo é determinado, em $\mathbb{R}^2$, pelos vectores $\frac{\partial \phi}{\partial u}(u,v) \Delta u$ e $\frac{\partial \phi}{\partial v}(u,v) \Delta v$.

Seguindo o mesmo tipo de raciocínio, para se obter a fórmula de mudança de variáveis $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ para $(u,v,w) \in \mathbb{R}^3$ nos integrais triplos, o elemento de volume $dx\, dy\, dz$ deve ser substituído pelo elemento de volume ${\rm factor}(u,v,w)\, du\, dv\, dw$, onde supostamente o ${\rm factor}(u,v,w)$ se deve determinar da seguinte maneira: designando por $\phi = (x,y,z) : D \subset \mathbb{R}^3 \to A \subset \mathbb{R}^3$ a função responsável pela mudança de variáveis, constrói-se uma parametrização $r = (x,y,z,0) : D \to A \times \{ 0 \}$; o volume de $A$ deverá coincidir com o volume de $A \times \{ 0 \}$ como hipersuperfície de $\mathbb{R}^4$; por sua vez, na construção de um integral triplo que permita calcular este volume é plausível que apareçam as parcelas ${\rm factor}(u,v,w) \Delta u \Delta v \Delta w$, que terão origem no facto de, localmente, o volume de uma pequena porção da hipersuperfície estar a ser substituído pelo volume do paralelepípedo determinado, em $\mathbb{R}^4$, pelos vectores $\frac{\partial r}{\partial u}(u,v,w) \Delta u$, $\frac{\partial r}{\partial v}(u,v,w) \Delta v$, $\frac{\partial r}{\partial w}(u,v,w) \Delta w$. E como a quarta componente de tais vectores é nula, deverá poder dizer-se que tal paralelepípedo é determinado, em $\mathbb{R}^3$, pelos vectores $\frac{\partial \phi}{\partial u}(u,v,w) \Delta u$, $\frac{\partial \phi}{\partial v}(u,v,w) \Delta v$ e $\frac{\partial \phi}{\partial w}(u,v,w) \Delta w$.

Ora, sabe-se da geometria analítica que o volume de um tal paralelepípedo é determinado pelo seguinte módulo de produto misto:

(1)

\begin{align} \Big| \frac{\partial \phi}{\partial u}(u,v,w) \Delta u \cdot \frac{\partial \phi}{\partial v}(u,v,w) \Delta v \times \frac{\partial \phi}{\partial w}(u,v,w) \Delta w \Big|, \end{align}

ou seja,

(2)

\begin{align} | \det \phi'(u,v,w) \, \Delta u \Delta v \Delta w |. \end{align}

Na verdade, verifica-se o seguinte resultado, cuja prova omitimos:

Proposição (mudança de variáveis na integração tripla)

Sejam $A \subset \mathbb{R}^3$ uma região de integração¹ e $f : A \to \mathbb{R}$ uma função limitada cujo conjunto de pontos de descontinuidade tem conteúdo nulo. Seja $D \subset \mathbb{R}^3$ uma outra região de integração e $\phi : D \to A$ uma função continuamente diferenciável com as seguintes propriedades: existem abertos $D_1 \subset D$ e $A_1 \subset A$ tais que $\phi$ é bijectiva de $D_1$ para $A_1$, $\det \phi' \not=0$ em $D_1$ e $D \setminus D_1$, $A \setminus A_1$ têm conteúdo nulo. Então

(3)

\begin{align} \int\!\!\!\int\!\!\!\int_A f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz = \, \int\!\!\!\int\!\!\!\int_D (f \circ \phi)(u,v,w) \, |\det \phi'(u,v,w)| \, du \, dv \, dw. \end{align}

Definição de jacobiano

O determinante $\det \phi'$ da matriz jacobiana de $\phi$, que aparece em (3), designa-se por determinante jacobiano (ou, simplesmente, jacobiano) de $\phi$. É também habitual denotá-lo por

(4)

\begin{align} \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}, \end{align}

onde aqui $x = x(u,v,w)$, $y = y(u,v,w)$ e $z=z(u,v,w)$ desempenham os papéis de funções coordenadas de $\phi$.

Exercício

Mostre que
(a) numa mudança de variáveis cartesianas para cilíndricas,

(5)

\begin{align} \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)} = r\,; \end{align}

(b) numa mudança de variáveis cartesianas para esféricas,

(6)

\begin{align} \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\theta,\varphi)} = -\rho^2 \sin \varphi\,. \end{align}

Exercício

Calcule o seguinte integral usando coordenadas cilíndricas:

(7)

\begin{align} \int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_0^1 (\sqrt{x^2+y^2} + z) \, dz \, dy \, dx. \end{align}

Exercício

Calcule o seguinte integral usando coordenadas esféricas:

(8)

\begin{align} \int_0^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{-\sqrt{1-x^2-y^2}}^{\sqrt{1-x^2-y^2}} \frac{x}{x^2+y^2+z^2} \, dz \, dy \, dx. \end{align}

(ignore o facto de o integral ser impróprio, já que a função integranda não é limitada).

Notas de rodapé

1. Um subconjunto de $\mathbb{R}^3$ diz-se uma região de integração se for uma união finita de subconjuntos projectáveis em $x0y$, em $y0z$ ou em $x0z$ (podendo as diferentes possibilidades coexistir) e cujos interiores sejam disjuntos dois a dois.

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