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Se, no integrando do integral que define área de superfície, incluirmos também uma função $f \circ r$, onde $f : r(D) \to \mathbb{R}$ é uma dada função contínua não-negativa, então o resultado
(1)pode interpretar-se, supondo também que $r$ é injectiva, como a massa de um placa fina que ocupe a posição da superfície imagem de $r$ e tenha densidade dada por $f(r(u,v))$ em cada ponto $r(u,v)$, admitindo então que (1) seja independente da parametrização $r$ que se use no cálculo.
Tem, portanto, interesse a consideração de integrais como (1) em cima, o que dá origem à seguinte definição:
Definição de integral de superfície de campos escalares
Seja $r : D \to \mathbb{R}^3$ uma superfície parametrizada continuamente diferenciável, onde $D$ é também uma região de integração. Seja $f : r(D) \to \mathbb{R}$ tal que $f \circ r$ é contínua. Define-se o integral de superfície de $f$ como
(2)Tal como no contexto dos integrais de linha, podemos também definir integrais de superfície de campos vectoriais:
Definição de integral de superfície de campos vectoriais
Seja $r : D \to \mathbb{R}^3$ uma superfície parametrizada continuamente diferenciável, onde $D$ é também uma região de integração. Seja $f : r(D) \to \mathbb{R}^3$ tal que $f \circ r$ é contínua. Define-se o integral de superfície de $f$ como
(3)O ponto entre $f(r(u,v))$ e $\frac{\partial r}{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial r}{\partial v}(u,v)$ no membro direito em cima indica produto interno destes dois vectores; o seu uso no membro esquerdo faz parte da notação do integral que está aí a ser definido. Quanto a $\hat n$, embora em cima faça parte da notação, na verdade pretende designar, para cada $(u,v) \in D$, o vector unitário normal à superfície no ponto $r(u,v)$ e com o mesmo sentido de $\frac{\partial r}{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial r}{\partial v}(u,v)$, i.e.
(4)supondo que o denominador desta fracção não se anula. Embora o membro direito de (3) faça sentido mesmo quando $\frac{\partial r}{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial r}{\partial v}(u,v)$ se anula, no caso de se manter sempre diferente de zero em todo o domínio então coincide com o membro esquerdo interpretado como integral de superfície do campo escalar $f \cdot \hat{n}$.
A importância da consideração desta definição de integral de superfície de campos vectoriais é devida à sua interpretação física como sendo o fluxo de $f$ através da superfície $r(D)$, devendo, nesse caso, para além de se considerar a existência de $\hat n$ (de modo a que o fluxo se faça de um lado bem definido da superfície para o outro), supor-se também que $r$ é injectiva.
Aliás, em aplicações como esta, ou como no cálculo de área de superfícies, deve colocar-se também a questão de se saber se os resultados podem ou não depender das parametrizações. Não o faremos aqui, mas, nas condições anteriores (incluindo as do último parágrafo) seria possível provar que o integral de superfície de um dado campo escalar sobre uma dada superfície não depende da parametrização desta (desde que obedeça aos requisitos em cima). Já no caso de integrais de superfície de campos vectoriais, havendo dois sentidos possíveis para um vector unitário normal a uma superfície em cada ponto desta, há dois tipos possíveis de parametrizações regulares (i.e., continuamente diferenciáveis e tais que $\frac{\partial r}{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial r}{\partial v}(u,v) \not= 0$ em todo o domínio), logo, mesmo com todos os requisitos anteriores, em tal caso, mudando para uma parametrização que altere o sentido da normal, está a alterar-se o integral para o seu simétrico.
Designando por $S$ a superfície imagem de $r$ numa tal situação, pode escrever-se, sem ambiguidade, $\int\!\!\!\int_S f \, dS$ em vez de $\int\!\!\!\int_r f \, dS$ e, se for claro o sentido a considerar para a normal, $\int\!\!\!\int_S f \cdot \hat{n} \, dS$ em vez de $\int\!\!\!\int_r f \cdot \hat{n} \, dS$.
Exercício
Calcule o fluxo de $f(x,y,z):=(x,y,z)$ através da esfera de centro na origem e de raio 1 usando a parametrização $r(\theta,\varphi):=(\cos \theta \sin \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \varphi)$, $\theta \in [0,2\pi]$, $\varphi \in [0,\pi]$ (ignore o facto de $r$ não ser exactamente injectiva nem regular). Interprete o sinal do resultado levando em linha de conta o sentido para o qual apontam as normais (à superfície) $\frac{\partial r}{\partial \theta} \times \frac{\partial r}{\partial \varphi}$.
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Em (2) r depende de dois parâmetros: u e v. No entanto, pode depender de três, certo?
Por exemplo, quando utilizamos o sistema de coordenadas esféricas podemos obter r a depender de três parâmetros, não é?
São sempre apenas dois parâmetros. Os três parâmetros das coordenadas esféricas permitem descrever qualquer ponto do espaço (que tem dimensão 3). Quando esses três parâmetros descrevem uma superfície, não podem variar independentemente uns dos outros. Assim, há um que se pode escrever em função dos outros dois.
Em suma: para efeitos de obtenção de uma parametrização de uma superfície terás sempre que determinar (apenas) dois parâmetros adequados para o efeito.
Relativamente ao exercício, se tivermos um raio R>0, qual seria a parametrização mais adequada?
A parametrização apresentada no caso $R=1$ é inspirada no sistema de coordenadas esféricas. Usando o mesmo ponto de vista, no caso de um outro qualquer $R > 0$ deverás multiplicar todas as funções coordenadas da parametrização anterior por $R$ (compara com a parte onde se introduziu esse tipo de coordenadas).