3.2 Superfícies e seus integrais - parte 3

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Para além dos sistemas cartesiano e de coordenadas esféricas, em $\mathbb{R}^3$ considera-se ainda o seguinte:

Definição do sistema de coordenadas cilíndricas (e relação com o sistema cartesiano)

Trata-se de um sistema de coordenadas $(r, \theta, z)$, onde $(r, \theta)$ se refere às coordenadas polares no plano $x0y$ e onde $z$ tem o mesmo significado da coordenada com a mesma designação no sistema cartesiano. Assim, as fórmulas de transformação de coordenadas cilíndricas $(r, \theta, z)$ em coordenadas cartesianas $(x,y,z)$ são

(1)

\begin{align} \left\{ \begin{array}{l} x = r \, \cos \theta \\ y = r \, \sin \theta \\ z = z \end{array} \right., \end{align}

sendo suficiente considerar $r \in [0, \infty[$, $\theta \in [0, 2\pi]$ e $z \in \mathbb{R}$.

Como exemplo de como o ponto de vista das coordenadas cilíndricas nos pode também ajudar a obter representações paramétricas para certas superfícies, considere-se o caso do parabolóide de equação cartesiana

(2)

\begin{equation} z=x^2+y^2. \end{equation}

Como qualquer terno $(x,y,z)$ que obedeça a esta equação verifica $z=r^2$, substituindo em (1) fica garantida a existência de números reais $z$ e $\theta$ para os quais

(3)

\begin{align} \left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt{z} \, \cos \theta \\ y = \sqrt{z} \, \sin \theta \\ z = z \end{array} \right.. \end{align}

Como, reciprocamente, qualquer terno $(x,y,z)$ que verifique (3) também verifica (2), então

(4)

\begin{align} r = (\sqrt{z} \, \cos \theta, \sqrt{z} \, \sin \theta, z), \quad (z, \theta) \in [0,\infty[ \times [0,2\pi], \end{align}

é uma representação paramétrica, de parâmetros $z$ e $\theta$, para o parabolóide inicialmente dado por (2).

Exercício

Determine uma representação paramétrica para o parabolóide dado por (2) directamente a partir dessa equação.

Exercício

Com a ajuda do sistema de coordenadas cilíndricas, determine uma parametrização para o cone de equação cartesiana $z^2 = x^2+y^2$.

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