3.2 Superfícies e seus integrais - parte 2

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Um outro exemplo do uso de representação paramétrica de superfície tinha já aparecido de forma velada no traçado do elipsóide em 2 Integração. Nesse caso as equações paramétricas consideradas foram

(1)

\begin{align} \left\{ \begin{array}{l} x = \cos \theta \, \sin \varphi \\ y = 2 \, \sin \theta \, \sin \varphi \\ z = \cos \varphi \end{array} \right., \end{align}

ou, em forma vectorial,

(2)

\begin{align} r = (\cos \theta \, \sin \varphi, 2 \, \sin \theta \, \sin \varphi, \cos \varphi), \end{align}

onde, devido à periodicidade das funções trigonométricas envolvidas, é suficiente considerar-se $(\theta, \varphi) \in [0,2\pi]^2$.

Dividindo a equação do meio por 2 e quadrando depois as três equações e adicionando-as, facilmente se obtém a equação cartesiana

(3)

\begin{align} x^2+\frac{y^2}{4}+z^2 = 1 \end{align}

correspondente, que é a conhecida equação de um elipsóide. Embora graficamente (por exploração do plug-in em 2 Integração) seja claro que a representação (1) cobre todos os pontos $(x,y,z)$ que obedecem à equação (3), a justificação analítica exige alguma reflexão. Esta conclusão pode, no entanto, ser facilitada pela consideração do sistema de coordenadas esféricas, que introduzimos de seguida:

Definição do sistema de coordenadas esféricas (e relação com o sistema cartesiano)

Dado um qualquer ponto $(x,y,z)$ em coordenadas cartesianas, seja $\rho$ a sua distância à origem. O respectivo raio-vector faz com o semieixo positivo dos $zz$ um ângulo que designamos por $\varphi$. Daqui sai que $z = \rho \, \cos \varphi$. A projecção ortogonal de $(x,y,z)$ sobre o plano $x0y$ dá um ponto deste plano que se pode descrever como $(r, \theta)$ em termos de coordenadas polares. Daqui sai $x=r \, \cos \theta$ e $y=r \, \sin \theta$. Como $r= \rho \, \sin \varphi$, juntando tudo temos que

(4)

\begin{align} \left\{ \begin{array}{l} x = \rho \, \cos \theta \, \sin \varphi \\ y = \rho \, \sin \theta \, \sin \varphi \\ z = \rho \, \cos \varphi \end{array} \right. \end{align}

que são as fórmulas de transformação de coordenadas esféricas $(\rho, \theta, \varphi)$ em coordenadas cartesianas $(x,y,z)$. Pelo modo como foram construídas, vê-se que é suficiente considerar $\rho \in [0, \infty[$, $\theta \in [0,2\pi]$ e $\varphi \in [0,\pi]$.

Aplicando ao caso do elipsóide dado pela equação cartesiana (3), observando que os ternos $(x,y,z)$ que obedecem a esta equação são tais que $(x, y/2, z)$ pertence à superfície esférica de centro em 0 e raio 1, cuja equação no sistema de coordenadas esféricas é $\rho = 1$, por substituição em (4) — com $y/2$ no lugar de $y$ — obtém-se a garantia de existência de números reais $\theta$ e $\varphi$ que validam a representação paramétrica (1) do elipsóide em causa.

Exercício

Com a ajuda do sistema de coordenadas esféricas, determine uma parametrização para o cone de equação cartesiana $z = \sqrt{x^2+y^2}$.

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