3.2 Superfícies e seus integrais - parte 1

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Em termos de superfícies, até este momento temos trabalhado com gráficos $z=f(x,y)$ de funções reais de duas variáveis reais ou com superfícies de nível $F(x,y,z)=c$ de funções reais de três variáveis reais. Neste último caso, mais geral do que o primeiro, é comum não ser globalmente possível escrever uma das variáveis em função das restantes, o que dificulta a identificação dos pontos de $\mathbb{R}^3$ que compõem a superfície.

Existe um terceiro método para descrever uma superfície, e de um modo explícito, que é o uso de equações paramétricas ou equações vectoriais. Por exemplo, considere-se o caso simples de um plano que passa pelos pontos $P_1=(1,0,0)$, $P_2=(0,2,0)$ e $P_3=(1,2,3)$. Sendo não colineares, existe um único plano contendo estes pontos, de equação vectorial $r = P_1 + t (P_2-P_1) + s (P_3-P_1)$, ou seja,

(1)

\begin{align} r = (1,0,0) + t (-1,2,0) + s (0,2,3), \quad t,s \in \mathbb{R}. \end{align}

Decompondo $r$ nas coordenadas $x$, $y$ e $z$, obtêm-se as respectivas equações paramétricas:

(2)

\begin{align} \left\{ \begin{array}{l} x = 1-t \\ y = 2t+2s \\ z = 3s \end{array} \right. \quad t,s \in \mathbb{R}. \end{align}

Ficheiro the para manipular no LiveMath Viewer: plano.the.

Neste caso é fácil eliminar os parâmetros $t$ e $s$ e obter a equação cartesiana para o plano em causa, mas a nossa ideia na presente secção é mesmo tirar directamente partido da representação paramétrica ou vectorial.

Observe-se que (1) ou (2) são representações como as que usámos no capítulo 1, a propósito das curvas. Compare, em especial, com o exemplo de representação da recta em 1 curvas. Em ambos os casos temos representações paramétricas. A diferença está em que no caso dessa recta um parâmetro era suficiente, enquanto no caso do plano em cima precisamos de dois graus de liberdade.

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