3.1 Derivadas e gradientes - parte 9

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Da definição de diferenciabilidade dada na parte 8 saem imediatamente para o caso geral também resultados correspondentes ao da continuidade em pontos de diferenciabilidade e ao da condição suficiente de diferenciabilidade.

A regra de derivação da composição de funções tem agora a seguinte formulação:

Proposição (regra da cadeia, caso geral)

Sejam $f : B \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ e $g : A \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n$ tais que $g(A) \subset B$. Seja $a \in {\rm int}\, A$ tal que $g(a) \in {\rm int}\, B$. Se $g$ e $f$ são diferenciáveis em $a$ e $g(a)$, respectivamente, então $f \circ g$ é diferenciável em $a$ e

(1)

\begin{align} (f \circ g)'(a) = f'(g(a))\, g'(a), \end{align}

onde no membro direito desta identidade o produto em causa é o produto de matrizes.

Para provar este resultado, é preferível adaptar directamente a prova do caso particular anteriormente dado para esta regra, em vez de tentar reduzir a esse caso. Alguns detalhes técnicos terão que ser modificados, mas isso não será aqui feito.

Observe-se que, escrevendo $f=(f_1, \ldots, f_m)$, $g=(g_1, \ldots, g_n)$ e $f \circ g = ( (f \circ g)_1, \ldots, (f \circ g)_m)$ — i.e., através das respectivas funções coordenadas —, a definição do produto de matrizes leva a que (1) se possa, equivalentemente, escrever como

(2)

\begin{align} \frac{\partial(f \circ g)_i}{\partial x_j}(a) = \sum_{k=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial y_k}(g(a)) \frac{\partial g_k}{\partial x_j}(a), \quad \forall i=1, \ldots, m, \, \forall j = 1, \ldots, p, \end{align}

onde $x$ é a variável em $\mathbb{R}^p$ e $y$ é a variável em $\mathbb{R}^n$. Designando ainda por $z$ a variável em $\mathbb{R}^m$ e cometendo o abuso de notação de identificar as funções com as variáveis dos seus conjuntos de chegada (e de omitir os pontos onde as derivadas são calculadas), é ainda habitual escrever-se (2) na forma

(3)

\begin{align} \frac{\partial z_i}{\partial x_j} = \sum_{k=1}^n \frac{\partial z_i}{\partial y_k} \frac{\partial y_k}{\partial x_j}, \quad \forall i=1, \ldots, m, \, \forall j = 1, \ldots, p. \end{align}

Exemplo

Dadas as funções definidas por $f(u,v,w) := (e^{u-w}, \cos(u+v)+\sin(u+v+w))$ e $g(x,y) := (e^x, \cos(y-x), e^{-y})$, ambas claramente diferenciáveis em $\mathbb{R}^3$ e em $\mathbb{R}^2$, respectivamente, se se pretender, por exemplo, apenas a derivada de $(f \circ g)_2$ em ordem a $x$, usando uma mistura entre (2) e (3) com $i=2$ e $j=1$ obtém-se

(4)

\begin{eqnarray} \frac{\partial (f \circ g)_2}{\partial x} & = & \frac{\partial f_2}{\partial u}|_{g(x,y)} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f_2}{\partial v}|_{g(x,y)} \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial f_2}{\partial w}|_{g(x,y)} \frac{\partial w}{\partial x} \\ & = & \big( - \sin(u+v) + \cos(u+v+w) \big)|_{g(x,y)}\ e^x \\ & & \; + \, \big( - \sin(u+v) + \cos(u+v+w) \big)|_{g(x,y)}\, \sin(y-x) \, + \, 0 \\ & = & \big( - \sin(e^x+\cos(y-x)) + \cos(e^x+\cos(y-x)+e^{-y}) \big) \, e^x \\ & & \; + \, \big( - \sin(e^x+\cos(y-x)) + \cos(e^x+\cos(y-x)+e^{-y}) \big) \, \sin(y-x). \end{eqnarray}

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