3.1 Derivadas e gradientes - parte 8

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Consideremos agora o caso geral das funções $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ e procedamos como na parte 2 da secção 1.1:

Definição de derivada segundo um vector (caso geral)

Seja $f=(f_1, \ldots, f_m) : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ uma função vectorial de várias variáveis reais. Seja $u \in \mathbb{R}^n$. Sempre que as coordenadas no segundo membro da seguinte igualdade façam sentido, esse segundo membro serve de definição para o que aparece escrito no primeiro membro, que se designará então por derivada de $f$ segundo $u$ em $x$:

(1)

\begin{align} f'_u(x) = ((f_1)'_u(x), \ldots, (f_m)'_u(x)). \end{align}

Equivalentemente, pode definir-se através de uma identidade como na correspondente definição na parte 1.

As definições de derivada direccional e de derivada parcial saem por especialização, tal como na parte 1.

Definição de diferenciabilidade (caso geral)

Uma função $f=(f_1, \ldots, f_m) : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, vectorial de várias variáveis reais, diz-se diferenciável num ponto $a \in {\rm int}\, D$ se todas as suas funções coordenadas forem diferenciáveis nesse ponto.

Equivalentemente (conjugando com a definição de função real diferenciável), tal $f$ será diferenciável em $a$ se existirem $l_1, \ldots, l_m \in \mathbb{R}^n$ tais que

(2)

\begin{align} \lim_{x \to a} \frac{\| f(x)-f(a)- (l_1 \cdot (x-a), \ldots, l_m \cdot (x-a)) \|}{\| x-a \|} = 0, \end{align}

ou, observando que $l_i = (l_{i1}, \ldots, l_{in})$, $i=1, \ldots, m$, e designando por $L$ a matriz $m \times n$

(3)

\begin{align} L := \big[ l_{ij} \big]_{{i=1,\ldots,m \atop j=1,\ldots,n}}, \end{align}

tais que

(4)

\begin{align} \lim_{x \to a} \frac{\| f(x)-f(a)- \big( L (x-a)^\top \big)^\top \|}{\| x-a \|} = 0, \end{align}

onde $\big( L (x-a)^\top \big)^\top$ indica o transposto do vector-coluna obtido fazendo o produto da matriz $L$ pelo vector-coluna $(x-a)^\top$.

Na prática é habitual omitirem-se as indicações das transposições em cima e escrever-se simplesmente $L (x-a)$ em vez de $\big( L (x-a)^\top \big)^\top$. Além disso, e tal como decorre da proposição sobre derivadas de funções reais diferenciáveis, em caso de existência a matriz $L$ tem que ser necessariamente igual a

(5)

\begin{align} \left[ \begin{array}{ccc} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a) & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(a) \end{array} \right]. \end{align}

Definição de derivada e de matriz jacobiana

A matriz em cima diz-se a derivada, ou a matriz jacobiana, de $f$ em $a$. Denota-se por $f'(a)$ ou $Df(a)$.

Exemplo

A matriz jacobiana da função $f(x,y,z) := (ze^{x+y},1-ye^z)$ é, num ponto genérico $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$,

(6)

\begin{align} \left[ \begin{array}{ccc} z e^{x+y} & z e^{x+y} & e^{x+y} \\ 0 & -e^z & -y e^z \end{array} \right]. \end{align}

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