3.1 Derivadas e gradientes - parte 7

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Uma vez obtidas as funções derivadas parciais (de 1ª ordem) de uma função $f$ real de várias variáveis reais, pode considerar-se o cálculo das derivadas parciais dessas, ou seja, das chamadas derivadas parciais de 2ª ordem de $f$. A notação será a seguinte, exemplificada para o caso de $x$ e $y$ serem duas das variáveis da função e se derivar primeiro em ordem a $x$ e depois em ordem a $y$:

(1)

\begin{align} f_{x y} := (f_x)_y = \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial f}{\partial x} =: \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}. \end{align}

No caso de se derivar duas vezes seguidas em relação a uma mesma variável, por exemplo $x$, abreviar-se-á a notação para

(2)

\begin{align} f_{x^2} := (f_x)_x = \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial x} =: \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}. \end{align}

Exercício

Calcule todas as derivadas de 2ª ordem da função $f$ definida por $f(x,y,z) = e^{xy} + z \, \cos x$.

Pode conferir os seus cálculos no ficheiro derordem2.the — correspondente à figura abaixo —, para manipular no LiveMath Viewer, alterando sucessivamente as variáveis a considerar nas derivações.

Eventualmente terá observado que obteve o mesmo resultado quando meramente trocou a ordem na derivação. Na verdade, trata-se de algo que acontece em grande parte das situações, como segue do seguinte resultado, cuja prova omitimos:

Proposição (igualdade das derivadas mistas)

Sejam $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ e $a \in {\rm int}\, D$. Sejam $x$ e $y$ duas das variáveis da função $f$. Se as derivadas parciais $f_x$, $f_y$ e $f_{xy}$ existem numa bola aberta centrada em $a$ e se $f_{xy}$ é contínua em $a$, então $f_{yx}(a)$ existe e

(3)

\begin{equation} f_{xy}(a) = f_{yx}(a). \end{equation}

No entanto, para que não se julgue que se verifica sempre tal igualdade, considere o seguinte exemplo do contrário:

Exercício

Calcule as derivadas parciais de 2ª ordem de

(4)

\begin{align} f(x,y) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{x y (x^2-y^2)}{x^2+y^2} & \mbox{se } (x,y) \not= (0,0) \\ 0 & \mbox{se } (x,y) = (0,0) \end{array} \right. \end{align}

em $(0,0)$.

No caso de as derivadas de 2ª ordem de uma função admitirem, por sua vez, derivadas parciais, diremos que se tratam das derivadas parciais de 3ª ordem da função dada. E assim sucessivamente.

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