3.1 Derivadas e gradientes - parte 6

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É possível tirar já partido das definições de derivadas direccionais e de gradiente para obter alguma informação sobre o comportamento local de uma função real de várias variáveis, pelo menos nos casos de $n=2$ ou de $n=3$:

De acordo com a proposição1 que caracteriza derivadas, segundo vectores, em pontos de diferenciabilidade, dado um tal ponto de uma função $f$ e um vector unitário $u \in \mathbb{R}^n$,

(1)
\begin{align} f'_u(a) = \nabla f(a) \cdot u = \| \nabla f(a) \| \cos \theta, \end{align}

onde $\theta$ é o ângulo entre $\nabla f(a)$ e $u$, logo $f'_u(a)$ é a norma da projecção ortogonal do gradiente sobre $u$. Naturalmente, $f'_u(a)$ assume o maior valor possível quando $\cos \theta =1$, isto é, quando $u$ tem a mesma direcção e sentido do vector gradiente. Por outras palavras, em cada ponto de diferenciabilidade da função, a taxa de variação é máxima na direcção e sentido do vector gradiente, sendo $\| \nabla f(a) \|$ o seu valor.

Em certas aplicações físicas é útil representar os vectores gradientes (ou vectores proporcionalmente mais pequenos, de modo a não tornar a figura numa confusão) aplicados em vários pontos correspondentes do domínio da função, como na figura em baixo, onde se representa o campo dos gradientes da função2 do exercício da parte 4.

Por exemplo, se o campo de vectores aqui em causa se referisse a um campo de velocidades de um fluido num dado instante, ficar-se-ia com uma ideia acerca do modo como o fluido estava a evoluir naquele instante.

Do ponto de vista da geometria da função $f$, será talvez mais útil representar os seus conjuntos de nível, i.e., os conjuntos da forma

(2)
\begin{align} N(c) := \{ x \in D : f(x) = c \}, \end{align}

para $c$ constante real.

Nos casos de $n=2$ e de $n=3$, os conjuntos de nível também levam as designações de curvas de nível e de superfícies de nível, respectivamente, se bem que tais conjuntos possam ser muito diferentes daquilo que entendemos vulgarmente por curvas e por superfícies (determine, por exemplo, as curvas de nível das funções dos exemplos das partes 2 das secções 2.1 e 3.1).

No caso da função3 do exercício da parte 4, cujo campo de gradientes representámos em cima, as curvas de nível teriam o aspecto seguinte:

Se se marcarem os valores (constantes) que a função assume em cada curva de nível (cf. valores a vermelho na figura), ficamos com uma ideia acerca do seu gráfico.

A comparação das duas figuras em cima revela que, em cada ponto, o gradiente da função parece perpendicular à curva de nível que passa por tal ponto. Na verdade, se considerarmos uma curva que seja a imagem de um caminho diferenciável $r : I \to D \subset \mathbb{R}^n$, onde $I$ é um intervalo de números reais, então, no caso de esta curva estar contida num conjunto de nível $N(c)$ de $f$,

(3)
\begin{align} f(r(t)) = c, \quad \forall t \in I, \end{align}

de onde sai, com a ajuda da regra da cadeia, e supondo ainda que a curva é constituída apenas por pontos de diferenciabilidade de $f$, que

(4)
\begin{align} \nabla f(r(t)) \cdot r'(t) = (f \circ r)'(t) = 0, \quad \forall t \in I, \end{align}

isto é, o gradiente de $f$ em cada ponto da curva é perpendicular ao vector tangente à curva no mesmo ponto (supondo não nulo tal vector).

No caso de $n=3$ teremos, para cada ponto da superfície de nível que seja ponto de diferenciabilidade de $f$, que o gradiente da função é perpendicular aos vectores tangentes a qualquer curva imagem de caminho diferenciável na superfície de nível e que passe pelo ponto, observação que motiva a definição seguinte:

Definição de plano tangente a superfície de nível

Seja $f : D \subset \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$. Seja $N(c) := \{ x \in D : f(x) = c \}$ uma superfície de nível de $f$, para um dado $c \in \mathbb{R}$. Seja $a \in N(c)$ um ponto de diferenciabilidade de $f$. Se $\nabla f(a) \not= 0$, define-se o plano tangente a $N(c)$ em $a$ pela equação

(5)
\begin{align} \nabla f(a) \cdot (x-a) = 0. \end{align}

Como já anteriormente definimos plano tangente a gráfico de função, e um tal gráfico pode sempre ser visto como uma superfície de nível de uma outra função, torna-se necessário averiguar sobre a consistência entre as duas definições:

Exercício

Mostre que a definição anteriormente dada de plano tangente a gráfico de função é um caso particular da definição em cima.

No caso de $n=2$, a definição correspondente à dada em cima é a de recta tangente a curva de nível, a qual engloba, como caso particular, a definição de recta tangente a gráfico de função (de uma variável), como pode comprovar como exercício.


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