3.1 Derivadas e gradientes - parte 5

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Tal como para funções reais de uma variável real, são válidas regras de derivação da soma, do produto e do quociente. As provas têm alguma semelhança com as correspondentes para o caso de funções de uma só variável. Deixamo-las como exercício, embora uma espreitadela prévia à prova, que é feita mais em baixo, da regra da composição possa ajudar na parte em que se distinguem daquelas.

Proposição (derivadas da soma, produto e quociente)

Sejam $f,g : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ diferenciáveis em $a \in {\rm int}\, D$. No caso da regra do quociente suponha-se ainda que $g(a) \not= 0$. Então $f+g$, $fg$ e $f/g$ são diferenciáveis em $a$ e

(1)
\begin{align} \nabla(f+g)(a) = \nabla f(a) + \nabla g(a), \quad \quad \nabla(fg)(a) = g(a) \nabla f(a) + f(a) \nabla g(a), \end{align}
(2)
\begin{align} \nabla \left(\frac{f}{g}\right)(a) = \frac{g(a) \nabla f(a) - f(a) \nabla g(a)}{(g(a))^2} \end{align}

O resultado que se segue mostra que também a noção de diferenciabilidade para funções vectoriais de uma só variável se consegue exprimir equivalentemente como na abordagem feita nas partes 2 e 3. Veremos a utilidade desta formulação logo a seguir, na prova da regra da derivação da composição de funções.

Exercício

Sejam $r : I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$ e $t_0$ ponto de acumulação de $I$. Mostre que $r$ é diferenciável em $t_0$ sse existe $m \in \mathbb{R}^n$ tal que

(3)
\begin{align} \lim_{t \to t_0} \frac{\| r(t)-r(t_0)-m \, (t-t_0) \|}{| t-t_0 |} = 0, \end{align}

e que, em caso de diferenciabilidade, terá obrigatoriamente que verificar-se $m=r'(t_0)$.

Proposição (regra da cadeia)

Sejam $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ e $r : I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$ tais que $r(I) \subset D$, e $g=f \circ r$. Seja $t_0$ um ponto de acumulação de $I$ tal que $r(t_0) \in {\rm int}\, D$. Se $r$ e $f$ são diferenciáveis em $t_0$ e $r(t_0)$, respectivamente, então $g$ é diferenciável em $t_0$ e

(4)
\begin{align} g'(t_0) = \nabla f (r(t_0)) \cdot r'(t_0). \end{align}

Seguir para a parte 6 ou adicionar um comentário em baixo.

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