3.1 Derivadas e gradientes - parte 3

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Proposição (sobre derivadas, segundo vectores, de funções diferenciáveis)

Seja $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ diferenciável em $a \in {\rm int}\, D$. Então existem as derivadas de $f$ em $a$ segundo qualquer vector $u \in \mathbb{R}^n$, verificando-se que

(1)

\begin{align} f'_u(a) = m \cdot u, \end{align}

onde $m$ tem o mesmo significado que na definição de função diferenciável¹. Como consequência,

(2)

\begin{align} m = \Big(\frac{\partial f}{\partial{x_1}}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial{x_n}}(a)\Big). \end{align}

Em particular, existe apenas um vector $m$ nas condições daquela definição².

ver prova

O resultado é evidente no caso $u=0$, por isso supomos que $u \not= 0$.

Observe-se que, para $h \not= 0$ tal que $a+hu \in D$,

(3)

\begin{eqnarray} \frac{f(a+hu)-f(a)}{h} - m \cdot u & = & \frac{\| hu \|}{h} \, \frac{f(a+hu)-f(a) - h (m \cdot u)}{\| hu \|} \\ & = & \frac{\| hu \|}{h} \, \frac{f(a+hu)-f(a) - m \cdot (a+hu-a)}{\| a+hu-a \|}, \end{eqnarray}

que tem limite zero quando $h \to 0$, atendendo a que o factor $\| hu \|/h$ é limitado e o outro, pela hipótese de diferenciabilidade e pela regra do limite da composição, é um infinitésimo.

Isto prova (1). Fazendo, para cada $k = 1, \ldots, n$, $u=e_k$, tem-se, em particular,

(4)

\begin{equation} f'_{e_k}(a) = m_k, \end{equation}

e portanto também (2).

Definição de gradiente

Sejam $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ e $a \in {\rm int}\, D$. Supondo que existem as derivadas parciais $f'_{x_k}(a)$, $k = 1, \ldots,n$, define-se o gradiente de $f$ em $a$ como o vector

(5)

\begin{align} \nabla f(a) := \Big(\frac{\partial f}{\partial{x_1}}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial{x_n}}(a)\Big). \end{align}

Como consequência da proposição em cima, ficamos a saber que no caso de uma função diferenciável num ponto existem as derivadas parciais dessa função nesse ponto, e portanto o respectivo gradiente. A definição de função diferenciável³ pode então ser reformulada da seguinte maneira:

Definição de função real diferenciável, revisitada

Sejam $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ e $a \in {\rm int}\, D$. Diz-se que $f$ é diferenciável em $a$ se existirem as derivadas parciais de $f$ em $a$ e

(6)

\begin{align} \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)-\nabla f(a) \cdot (x-a)}{\| x-a \|} = 0. \end{align}

Tal como referido na parte 2, o resultado do produto interno $\nabla f(a) \cdot (x-a)$ também se pode escrever como

(7)

\begin{align} \Big[ \frac{\partial f}{\partial{x_1}}(a) \, \ldots \, \frac{\partial f}{\partial{x_n}}(a) \Big] \left[ \begin{array}{c} x_1-a_1 \\ \vdots \\ x_n-a_n \end{array} \right], \end{align}

onde a matriz-linha $f'(a) := \big[ \frac{\partial f}{\partial{x_1}}(a) \, \ldots \, \frac{\partial f}{\partial{x_n}}(a) \big]$ também se designa por derivada de $f$ em $a$.

Definição de plano tangente a gráfico de função

No caso $n=2$, o plano envolvido na condição (6) da definição de diferenciabilidade é então o plano

(8)

\begin{align} z = f(a)+\nabla f(a) \cdot (x-a), \quad \mbox{ isto é,} \quad z = f(a_1,a_2) \, + \, \frac{\partial f}{\partial x}(a_1,a_2)\, (x-a_1) \, + \, \frac{\partial f}{\partial y}(a_1,a_2)\, (y-a_2) \end{align}

que se diz o plano tangente ao gráfico de $f$ em $(a,f(a))$.

Observe que a designação de tangente para este plano tem também motivações geométricas, já que os declives ao longo dos eixos dos $xx$ e dos $yy$ são, respectivamente, $\frac{\partial f}{\partial x}(a_1,a_2)$ e $\frac{\partial f}{\partial y}(a_1,a_2)$, que coincidem com os declives do gráfico da função quando intersectado com os planos verticais que passam por $(a_1,a_2)$ e são paralelos aos eixos coordenados. Uma justificação mais completa para esta designação será dada mais à frente.

Tal como se pretendia de uma noção de diferenciabilidade para funções (reais) de várias variáveis (cf. discussão no início da parte 2), a diferenciabilidade implica a continuidade, como se mostra a seguir:

Proposição (continuidade de funções reais diferenciáveis)

Sejam $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ e $a \in {\rm int}\, D$. Se $f$ é diferenciável em $a$, então é contínua em $a$.

ver prova

Observe-se que, para $x \in D \setminus \{ a \}$, e aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz⁴,

(9)

\begin{eqnarray} |f(x)-f(a)| & \leq & \Big|\frac{f(x)-f(a)-\nabla f(a) \cdot (x-a)}{\| x-a \|}\Big|\, \| x-a \| + |\nabla f(a) \cdot (x-a)| \\ & \leq & \Big|\frac{f(x)-f(a)-\nabla f(a) \cdot (x-a)}{\| x-a \|}\Big|\, \| x-a \| + \| \nabla f(a) \| \| x-a \|, \end{eqnarray}

e portanto a conclusão sai por aplicação da hipótese, usando álgebra de limites e enquadramento.

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Seguir para a parte 4 ou adicionar um comentário em baixo.

Dúvida sobre provar diferenciabilidade de funções vectoriais

Ana Pedro 03 Dec 2010 12:21

Pode-se afirmar que a derivada de exp(x) é finita, qualquer que seja o x?
Estou a perguntar isto para saber como provar que f(x)=(exp(x), cos(x), sen(x)) é diferenciável.

Last edited on 03 Dec 2010 14:35 by acaetano Show more

Re: Dúvida sobre provar diferenciabilidade de funções vectoriais

acaetano 03 Dec 2010 14:42

De acordo com a definição geral de diferenciabilidade, para provares a diferenciabilidade dessa função vectorial que apresentas deves provar a diferenciabilidade das suas funções coordenadas. Como estas são funções reais de uma variável real, podes usar o que sabes sobre elas de AMI. Em particular, nesse contexto uma função é diferenciável em cada ponto onde a derivada seja finita. É o que acontece, em particular, para a função exponencial que referes, cuja derivada coincide com ela própria, logo assume valores finitos em todo o $\mathbb{R}$.

Ana Pedro 05 Dec 2010 15:20

Se uma certa função f de várias variáveis for diferenciável em a pode afirmar-se que:
f(x) - f(a) = df(a) . (x-a) quando x tende para a e sendo df(x) o gradiente de f?

acaetano 05 Dec 2010 16:36

Não exactamente. A diferença entre os dois membros dessa expressão tende para zero quando x tende para a, como segue de (6), logo esses dois membros serão aproximadamente iguais nessas condições. Mas não há garantia de que sejam iguais se x for diferente de a.

Ana Pedro 05 Dec 2010 15:35

Sendo f nas mesmas condições pode-se afirmar que

[ f(x) - f(a) ] / || x - a || = f'u(a) ( sendo u um qualquer vector ), quando x tende para a? E pode-se também dizer que f'u(a) existe e é finito, pois f é diferenciável em a?

acaetano 05 Dec 2010 16:47

[ f(x) - f(a) ] / || x - a || = f'u(a) ( sendo u um qualquer vector ), quando x tende para a?

$f'_u(a)$ depende de $u$, logo não se pode esperar que seja igual a $[f(x)-f(a)]/\| x-a \|$, que não depende de $u$.

E pode-se também dizer que f'u(a) existe e é finito, pois f é diferenciável em a?

Sim, isso é parte da conclusão da proposição no cimo desta página.

R^3

Ian Chong 01 Feb 2012 22:54

Como é que se calcula o plano tangente de uma função em R³?
Por exemplo x²+y²+z²=6

Re: R^3

acaetano 03 Feb 2012 23:33

Pelo teu exemplo, o que queres é o processo de cálculo do plano tangente a um ponto de uma superfície de nível. Vê http://amiii.wikidot.com/3-1-derivadas-e-gradientes-parte-6#toc0.

Footnotes

1. $f$ é diferenciável em $a$ se existir $m \in \mathbb{R}^n$ tal que $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)-m \cdot (x-a)}{\| x-a \|} = 0.$

2. $f$ é diferenciável em $a$ se existir $m \in \mathbb{R}^n$ tal que $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)-m \cdot (x-a)}{\| x-a \|} = 0.$

3. $f$ é diferenciável em $a$ se existir $m \in \mathbb{R}^n$ tal que $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)-m \cdot (x-a)}{\| x-a \|} = 0.$

4. Dados dois vectores $u, v \in \mathbb{R}^n$, $|u \cdot v | \leq \| u \| \| v \|$.