3.1 Derivadas e gradientes - parte 3

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Proposição (sobre derivadas, segundo vectores, de funções diferenciáveis)

Seja $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ diferenciável em $a \in {\rm int}\, D$. Então existem as derivadas de $f$ em $a$ segundo qualquer vector $u \in \mathbb{R}^n$, verificando-se que

(1)
\begin{align} f'_u(a) = m \cdot u, \end{align}

onde $m$ tem o mesmo significado que na definição de função diferenciável1. Como consequência,

(2)
\begin{align} m = \Big(\frac{\partial f}{\partial{x_1}}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial{x_n}}(a)\Big). \end{align}

Em particular, existe apenas um vector $m$ nas condições daquela definição2.

Definição de gradiente

Sejam $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ e $a \in {\rm int}\, D$. Supondo que existem as derivadas parciais $f'_{x_k}(a)$, $k = 1, \ldots,n$, define-se o gradiente de $f$ em $a$ como o vector

(5)
\begin{align} \nabla f(a) := \Big(\frac{\partial f}{\partial{x_1}}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial{x_n}}(a)\Big). \end{align}

Como consequência da proposição em cima, ficamos a saber que no caso de uma função diferenciável num ponto existem as derivadas parciais dessa função nesse ponto, e portanto o respectivo gradiente. A definição de função diferenciável3 pode então ser reformulada da seguinte maneira:

Definição de função real diferenciável, revisitada

Sejam $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ e $a \in {\rm int}\, D$. Diz-se que $f$ é diferenciável em $a$ se existirem as derivadas parciais de $f$ em $a$ e

(6)
\begin{align} \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)-\nabla f(a) \cdot (x-a)}{\| x-a \|} = 0. \end{align}

Tal como referido na parte 2, o resultado do produto interno $\nabla f(a) \cdot (x-a)$ também se pode escrever como

(7)
\begin{align} \Big[ \frac{\partial f}{\partial{x_1}}(a) \, \ldots \, \frac{\partial f}{\partial{x_n}}(a) \Big] \left[ \begin{array}{c} x_1-a_1 \\ \vdots \\ x_n-a_n \end{array} \right], \end{align}

onde a matriz-linha $f'(a) := \big[ \frac{\partial f}{\partial{x_1}}(a) \, \ldots \, \frac{\partial f}{\partial{x_n}}(a) \big]$ também se designa por derivada de $f$ em $a$.

Definição de plano tangente a gráfico de função

No caso $n=2$, o plano envolvido na condição (6) da definição de diferenciabilidade é então o plano

(8)
\begin{align} z = f(a)+\nabla f(a) \cdot (x-a), \quad \mbox{ isto é,} \quad z = f(a_1,a_2) \, + \, \frac{\partial f}{\partial x}(a_1,a_2)\, (x-a_1) \, + \, \frac{\partial f}{\partial y}(a_1,a_2)\, (y-a_2) \end{align}

que se diz o plano tangente ao gráfico de $f$ em $(a,f(a))$.

Observe que a designação de tangente para este plano tem também motivações geométricas, já que os declives ao longo dos eixos dos $xx$ e dos $yy$ são, respectivamente, $\frac{\partial f}{\partial x}(a_1,a_2)$ e $\frac{\partial f}{\partial y}(a_1,a_2)$, que coincidem com os declives do gráfico da função quando intersectado com os planos verticais que passam por $(a_1,a_2)$ e são paralelos aos eixos coordenados. Uma justificação mais completa para esta designação será dada mais à frente.

Tal como se pretendia de uma noção de diferenciabilidade para funções (reais) de várias variáveis (cf. discussão no início da parte 2), a diferenciabilidade implica a continuidade, como se mostra a seguir:

Proposição (continuidade de funções reais diferenciáveis)

Sejam $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ e $a \in {\rm int}\, D$. Se $f$ é diferenciável em $a$, então é contínua em $a$.


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