3.1 Derivadas e gradientes - parte 1

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Comecemos por tentar definir derivada no caso de funções reais de várias variáveis. Da experiência anterior, é de suspeitar que a principal dificuldade não será passar daqui ao caso de funções vectoriais, mas sim precisamente o facto de agora termos que lidar com várias variáveis em simultâneo.

No caso de funções de uma só variável, a noção de derivada obtém-se por consideração de limites. Ora, no caso de limites, já vimos que não é uma boa ideia fazer variar apenas uma das variáveis enquanto as outras permanecem fixas. No entanto, se quisermos fazer variar o vector das variáveis independentes numa definição correspondente à caracterização de derivada como limite¹ que foi dada no capítulo 1, deparamo-nos com uma dificuldade técnica: seria preciso dar um sentido a uma eventual noção de inverso multiplicativo de um vector.

A seguinte definição aparece como um compromisso entre o ideal e o impossível:

Definição de derivada segundo um vector

Seja $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$. Sejam $a \in {\rm int}\, D$ e $u$ um vector dado em $\mathbb{R}^n$. A derivada de $f$ segundo $u$ em $a$ define-se como

(1)

\begin{align} f'_u(a) := \lim_{h \to 0} \frac{f(a+hu)-f(a)}{h} \end{align}

se este limite existir (finito).

Proposição (derivada segundo um vector como derivada ordinária)

Nas mesmas condições da definição em cima,

(2)

\begin{equation} f'_u(a) = g'(0), \end{equation}

onde $g$ é a função real definida, numa vizinhança de 0, por $g(t) = f(a+tu)$.

A prova é trivial: como $a$ é ponto interior de $D$, é possível definir $g$ da maneira indicada numa vizinhança de 0; de resto,

(3)

\begin{align} f'_u(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+hu)-f(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g(h)-g(0)}{h} = g'(0). \end{align}

Definições de derivada direccional e de derivadas parciais

Nas mesmas condições da definição em cima, no caso particular em que $u$ é um vector unitário a derivada segundo $u$ toma o nome especial de derivada direccional (na direcção e sentido de $u$). Se, mais em particular ainda, para um dado $k=1, \ldots, n$, $u=e_k := (\delta_{ki})_{i=1}^n$, onde $\delta_{ki}$ é o símbolo de Kronecker², então a derivada direccional $f'_{e_k}(a)$ diz-se a derivada parcial de $f$ em $a$ (em ordem à variável na coordenada número $k$).

Designando por $(x_1, \ldots, x_n)$ o vector das variáveis, em vez de $f'_{e_k}(a)$ também se usa, para esta derivada parcial, a notação

(4)

\begin{align} \frac{\partial f}{\partial x_k}(a) \quad \mbox{ ou } \quad f'_{x_k}(a) \quad \mbox{ ou } \quad f_{x_k}(a). \end{align}

Observe-se que, de acordo com a definição dada,

(5)

\begin{align} \frac{\partial f}{\partial x_k}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, \ldots, a_{k-1}, a_k+h, a_{k+1}, \ldots, a_n)-f(a_1, \ldots, a_{k-1}, a_k, a_{k+1}, \ldots, a_n)}{h}, \end{align}

logo o cálculo desta derivada é o cálculo da derivada, em $a_k$, da função, de uma só variável, obtida a partir de $f$ fixando $x_i=a_i$ para todos os $i=1, \ldots, n$ tais que $i \not= k$.

Exemplo

As derivadas parciais de $f(x,y):=x^2y+y^3+2x$ em $(1,0)$ são

(6)

\begin{align} \frac{\partial f}{\partial x}(1,0) = (2xy+2)|_{(1,0)} = 2 \quad \mbox{ e } \quad \frac{\partial f}{\partial y}(1,0) = (x^2+3y^2)|_{(1,0)} = 1. \end{align}

Em vez de se calcularem as derivadas parciais de uma função em pontos específicos, poderemos estar interessados em calculá-las genericamente, obtendo dessa maneira novas funções. Além disso, mesmo quando se pretende o cálculo em pontos específicos, sendo possível é preferível obter primeiro as funções derivadas parciais, bastando depois substituir as variáveis pelos valores particulares em causa. Como é bem visível no exemplo anterior, foi esse o procedimento aí usado.

Exercício

Teste a sua habilidade para obter funções derivadas parciais, criando os seus próprios exercícios e conferindo os seus resultados com os que o LiveMath lhe dá em baixo (é aí usada uma função particular de duas variáveis reais, mas pode, como sempre, alterar a expressão e actualizar o cálculo para a função de duas variáveis que quiser considerar):

Ficheiro the para manipular no LiveMath Viewer: derivparciais.the. Para além do que se referiu acima, pode também inserir mais variáveis independentes e, assim, calcular derivadas parciais de funções de mais de duas variáveis.

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Notas de rodapé

1. $f'(t_0) = \lim_{t \to t_0} \frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}$

2. $\delta_{ki} = 1$ se $k=i$; $\delta_{ki} = 0$ se $k\not= i$.

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