2 Integração

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O cálculo de volumes de sólidos, uma das aplicações que se começa a explorar neste capítulo, serve de motivação tanto para a consideração de funções de várias variáveis como para a integração múltipla.

A situação corresponde à do cálculo de áreas de figuras planas, por exemplo da porção do plano delimitada pela elipse representada a seguir:

elipse.gif

A maneira como uma tal área é calculada usando coordenadas cartesianas consiste em descobrir expressões matemáticas para as curvas que delimitam superiormente e inferiormente a figura e usar de integração. Como, no caso ilustrado em cima, tais curvas são gráficos de funções reais de uma variável real, a integração aqui em causa é a de funções reais de (uma) variável real.

Já no caso dos volumes, por exemplo do sólido delimitado pelo elipsóide representado em baixo, como as superfícies superior e inferior são gráficos de funções reais de duas variáveis reais, por analogia deverá ser possível efectuar o cálculo através de integração desse tipo de funções.

elipsoide-par.png?download=true

Ficheiro the para manipular no LiveMath Viewer: elipsoide-par.the.

É de realçar que a figura do elipsóide em cima representado não foi obtida através do uso de equações cartesianas, mas sim através do uso de uma parametrização desta superfície, como salta à vista pela análise das expressões listadas imediatamente antes da figura. Tais parametrizações são o correspondente, para superfícies, das parametrizações de curvas, estudadas no capítulo anterior. Tal como no caso das curvas, as parametrizações são a maneira mais adequada de se estudarem superfícies mais complexas. Observe-se, no entanto, que neste caso consiste numa função vectorial (temos 3 variáveis dependentes: $x$, $y$ e $z$) de duas variáveis reais ($\theta$ e $\varphi$).

Assim, serve esta observação também como motivação para a consideração de funções vectoriais de várias variáveis reais.


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