2.3 Integrais curvilíneos - parte 3

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Existe uma outra maneira, para além de $\int_r f \cdot dr$, de representar integrais de linha de campos vectoriais:

Escrevendo $r=(r_1, \ldots, r_n)$ e $f = (f_1, \ldots, f_n)$, tem-se que

(1)

\begin{eqnarray} \int_r f \cdot dr & = & \int_a^b (f_1(r(t)), \ldots, f_n(r(t))) \cdot (r_1'(t), \ldots, r_n'(t)) \, dt \\ & = & \int_a^b f_1(r(t)) r_1'(t) \, dt + \ldots + \int_a^b f_n(r(t)) r_n'(t) \, dt. \end{eqnarray}

Numa clara alusão à notação $\frac{dr_i}{dt} := r_i'(t)$, de Leibniz, para as derivadas de $r_i$, $i=1, \ldots, n$, é costume abreviar-se a escrita do último membro em cima para

(2)

\begin{align} \int_r f_1\, dr_1 + \ldots + f_n\, dr_n. \end{align}

No caso de $n=3$, esta notação simplifica-se ainda para

(3)

\begin{align} \int_r f_1\, dx + f_2\, dy + f_3\, dz \quad \mbox{ ou } \quad \int_r f_1(x,y,z)\, dx + f_2(x,y,z)\, dy + f_3(x,y,z)\, dz. \end{align}

E analogamente no caso de $n=2$.

Exemplo

Considere-se $r : [0,1] \to \mathbb{R}^3$ dada por $r(t)=(t,t^2,1+t)$. De acordo com o que acabou de se explicar em cima, o integral de linha $\int_r x^2\, dx + xy\, dy + dz$ calcula-se como

(4)

\begin{align} \int_0^1 t^2\, dt + \int_0^1 t^3 2 t\, dt + \int_0^1 1\, dt = \Big[ \frac{t^3}{3} + 2\frac{t^5}{5} + t \Big]_0^1 = \frac{26}{15}. \end{align}

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