2.3 Integrais curvilíneos - parte 1

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Recorde-se que em 1.2 Comprimento de arco se indicou que, no caso de caminhos $r : [a,b] \to \mathbb{R}^n$ continuamente diferenciáveis (i.e., tais que $r'$ é contínua), o comprimento do caminho percorrido desde o instante $a$ até ao instante $t \in [a,b]$ é dado por

(1)
\begin{align} s(t)=\int_a^t \| r'(\tau) \| \, d\tau. \end{align}

Observe-se que, no caso de $n=2$, o produto de uma dada constante não-negativa $c$ por $s(b)$, ou, o que dá no mesmo,

(2)
\begin{align} \int_a^b c\, \| r'(t) \| \, dt, \end{align}

é a área lateral de uma superfície cilíndrica de altura $c$ e base descrita pelo caminho $r$ (eventualmente contando mais do que uma vez certas porções da superfície, caso $r$ não seja injectiva).

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Se em vez de $c$ se usar $f \circ r$, onde $f : r([a,b]) \to \mathbb{R}$ é uma dada função contínua não-negativa, então

(3)
\begin{align} \int_a^b f(r(t))\, \| r'(t) \| \, dt \end{align}

interpretar-se-á como a área da superfície que se eleva desde a base descrita pelo caminho $r$ até à cota dada, em cada ponto $r(t)$ da curva imagem do caminho, por $f(r(t))$ (eventualmente com repetições, tal como em cima). Ou, tanto no caso de $n=2$ como no de $n=3$, e supondo também que $r$ é injectiva, como a massa de um filamento que ocupe a posição da curva imagem de $r$ e tenha densidade dada por $f(r(t))$ em cada ponto $r(t)$, admitindo então que (3) seja independente da parametrização $r$ que se use no cálculo.

Tem interesse, portanto, a consideração de integrais como em (3) em cima, os quais matematicamente fazem sentido ainda que $r$ não seja continuamente diferenciável ou $f \circ r$ não seja contínua, mas apenas possuam seccionalmente tais propriedades, de acordo com as seguintes definições:

Definições de função seccionalmente contínua e de função (seccionalmente) suave

Uma função $g : [a,b] \to \mathbb{R}^n$ diz-se seccionalmente contínua se existe uma partição $P=\{t_0, t_1, \ldots, t_{m-1}, t_m\}$ de $[a,b]$ tal que, para cada $j=1, \ldots, m$, $g$ é contínua em $]t_{j-1}, t_j[$ e existem e são finitos os limites laterais $g(t_{j-1}+)$ e $g(t_{j}-)$. Diz-se seccionalmente suave se, para uma tal partição, e para cada $j=1, \ldots, m$, $g$ é continuamente diferenciável em $]t_{j-1}, t_j[$ e existem e são finitos os limites laterais $g'(t_{j-1}+)$ e $g'(t_{j}-)$. Diz-se suave se $g$ é continuamente diferenciável (em $[a,b]$, portanto).

Observe-se que uma função seccionalmente contínua é necessariamente limitada. E que uma função seccionalmente suave tem derivada limitada, excepto eventualmente num número finito de pontos (onde a derivada pode nem sequer existir). Isto garante a existência dos integrais nas duas próximas definições, nas hipóteses aí assumidas (no sentido de se poder ignorar a possibilidade de $r'(t)$ não estar definida em todos os pontos, já que isso é irrelevante para o valor que se obtém ao calcular o integral através da soma de integrais em sub-intervalos de uma partição como a indicada em cima). Complete os detalhes!

Observe-se ainda que um caminho seccionalmente suave, relativamente a uma partição $P$ como em cima, é suave em cada sub-intervalo $[t_{j-1},t_j]$, $j=1,\ldots,m$, (mas não necessariamente em $[t_0,t_m]$) atendendo ao conhecido Teorema de Lagrange, do valor médio (note que um caminho é uma aplicação contínua, por definição).

Definição de integral relativamente ao comprimento de arco

Seja $r : [a,b] \to \mathbb{R}^n$ um caminho seccionalmente suave. Seja $f : r([a,b]) \to \mathbb{R}$ tal que $f \circ r$ é seccionalmente contínua. O integral (de linha, ou curvilíneo) de $f$ relativamente ao comprimento de arco ao longo de $r$ define-se como

(4)
\begin{align} \int_r f \, ds := \int_a^b f(r(t))\, \| r'(t) \| \, dt. \end{align}

Uma função como o $f$ em cima (com domínio em $\mathbb{R}^n$ e valores em $\mathbb{R}$) também se designa por campo escalar. Assim, podemos dizer que a noção de integral relativamente ao comprimento de arco se aplica a campos escalares.

Exemplo

Pretende-se calcular a massa de uma mola com o feitio de uma hélice dada pela parametrização $r$ definida por

(5)
\begin{align} r(t) = (\cos t, \sin t, t), \quad t \in [0,2\pi], \end{align}

supondo que a densidade é dada pela expressão $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ em cada ponto $(x,y,z) \in r([a,b])$.

De acordo com a discussão feita em cima, a massa deverá ser dada por

(6)
\begin{eqnarray} \int_0^{2\pi} (\cos^2 t + \sin^2 t +t^2) \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 1} \, dt \\ & = & \int_0^{2\pi} (1+t^2) \sqrt{2} \, dt \\ & = & \sqrt{2}\, \big(2\pi + \frac{8}{3} \pi^3 \big). \end{eqnarray}

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