2.2 Integrais duplos e triplos - parte 7

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Para o caso de se estar a perguntar para que serve um integral triplo, ainda para mais atendendo a que as funções a integrar triplamente têm os seus gráficos em $\mathbb{R}^4$, observe-se que, assim como $\int\!\!\!\int_D 1$ nos dá a área de $D$ e $\int\!\!\!\int\!\!\!\int_Q 1$ nos dá o volume de $Q$ (prove!), naturalmente o $\int\!\!\!\int\!\!\!\int_Q c$ — que é igual a $c \int\!\!\!\int\!\!\!\int_Q 1$ — dar-nos-á a massa do corpo $Q$, supondo que a densidade é igual a uma dada constante $c>0$ em qualquer ponto do sólido (densidade=massa/volume). No caso de a densidade variar de ponto para ponto de $Q$, ou seja, no caso de ser, em cada ponto $(x,y,z) \in Q$, o valor $f(x,y,z)$ de uma dada função não-negativa $f$, então

(1)

\begin{align} \int\!\!\!\int\!\!\!\int_Q f \end{align}

é interpretado como a massa do corpo $Q$ com tal densidade.

Exemplo

Seja $Q$ a região definida em $\mathbb{R}^3$ pela conjunção das seguintes condições:

(2)

\begin{align} x \geq 0, \quad y \geq 0, \quad x^2+y^2 \leq z \leq 2. \end{align}

Trata-se da região delimitada na figura seguinte, onde a superfície curva é uma porção do parabolóide de equação $z = x^2+y^2$:

A massa de um corpo de densidade dada por $f(x,y,z)=x$ e ocupando a posição de $Q$ é então o valor do integral triplo $\int\!\!\!\int\!\!\!\int_Q x \, dx \, dy \, dz$. Aplicando os Teoremas de Fubini enunciados nas partes 6 e 3, obtém-se

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