2.2 Integrais duplos e triplos - parte 6

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Passamos agora à consideração de integrais triplos. Tal como referido na parte 1, não repetiremos o processo descrito em detalhe no caso dos integrais duplos. Tudo o que foi anteriormente referido para estes vale, com as necessárias adaptações, para aqueles. Por exemplo, em vez de rectângulos teremos agora paralelepípedos rectângulos, e as somas de Darboux envolverão três somatórios, onde agora aparecem os volumes dos subparalelepípedos da partição.

Com este tipo de ressalvas, as definições de integral e de função integrável e as observações que se lhes seguem valem neste novo contexto. É claro que, para além de $I(f)$, usam-se agora também as notações

(1)

\begin{align} \int \!\!\! \int\!\!\!\int_Q f \quad \mbox{ ou } \quad \int\!\!\!\int \!\!\! \int_Q f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz \end{align}

para o integral de uma função real limitada $f$ sobre (um sólido) $Q$. No caso de $Q$ não ser da forma $[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \times [a_3,b_3]$, a definição é feita como na definição revisitada de integral e de função integrável.

A comparação de integrais, a linearidade, a integração em subconjuntos e a aditividade valem como na parte 5, desde que (nos dois últimos) se usem os tipos de domínio que referiremos mais em baixo.

Vale também a integrabilidade de funções contínuas, assim como proposições correspondentes à que trata sobre a irrelevância de conjuntos de conteúdo nulo na integração e a que versa sobre integrabilidade e integral de funções com descontinuidades, desde que se defina adequadamente conjunto de conteúdo nulo no contexto de $\mathbb{R}^3$ (para o que basta trocar rectângulos e áreas respectivamente por paralelepípedos rectângulos e volumes na anterior definição de conjunto de conteúdo nulo).

O primeiro Teorema de Fubini que apresentámos anteriormente tem agora a seguinte contrapartida (a qual se prova de um modo semelhante):

Proposição (Teorema de Fubini)

Seja $f : Q = [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \times [a_3,b_3] \to \mathbb{R}$ integrável. Suponha-se que, para cada $(x,y) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]$, o integral simples $A(x,y) := \int_{a_3}^{b_3} f(x,y,z) \, dz$ existe. Então o integral duplo $\int_{[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]} A(x,y) \, dx \, dy$ também existe e, além do mais, coincide com o integral triplo de $f$, i.e.

(2)

\begin{align} \int \!\!\! \int \!\!\! \int_Q f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz \; = \; \int_{[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]} \Big( \int_{a_3}^{b_3} f(x,y,z) \, dz \Big) \, dx \, dy. \end{align}

É claro que é possível fazer o cálculo através de uma integração iterada completa se se garantir também a hipótese que permite aplicar o nosso primeiro Teorema de Fubini ao integral duplo em (2) — formule um conjunto de hipóteses que o permita fazer. E é também claro que outras ordenações na integração iterada no membro direito de (2) são possíveis, desde que se modifique adequadamente a hipótese na proposição em cima.

De modo a estender-se, a regiões mais gerais do que paralelepípedos rectângulos, a possibilidade de calcular integrais triplos via integração iterada, considerar-se-ão regiões da forma

(3)

\begin{align} Q = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : (x,y) \in D \, \wedge \, z \in [\phi_1(x,y),\phi_2(x,y)] \}, \end{align}

onde $D$ é um qualquer subconjunto de tipo I ou de tipo II de $\mathbb{R}^2$ (note que é a projecção ortogonal de $Q$ sobre o plano $x0y$) e $\phi_1, \phi_2 : D \to \mathbb{R}$ são funções contínuas tais que $\phi_1 \leq \phi_2$. Tais regiões $Q$ dizem-se projectáveis em $x0y$.

Pode provar-se que a fronteira de um tal $Q$ tem conteúdo nulo em $\mathbb{R}^3$. Verifica-se então a seguinte proposição:

Proposição (Teorema de Fubini, revisitado)

Seja $f : Q \to \mathbb{R}$ uma função limitada tal que $f$ é contínua em ${\rm int\,} Q$.
Se $Q$ é a região do tipo em cima considerado, então o integral de $f$ sobre $Q$ existe e pode ser calculado por

(4)

\begin{align} \int\!\!\!\int\!\!\!\int_Q f = \int\!\!\!\int_D \Big( \int_{\phi_1(x,y)}^{\phi_2(x,y)} f(x,y,z) \, dz \Big) \, dx \, dy. \end{align}

Naturalmente, será possível calcular o integral triplo através de uma integração iterada completa desde que se garanta que o nosso segundo Teorema de Fubini possa ser aplicado ao integral duplo em (4). E podem formular-se (faça-o!) versões da proposição anterior aplicáveis a regiões definidas como em (3), mas com as variáveis trocadas — onde, em particular, $D$ será a projecção de $Q$ sobre $x0z$ ou sobre $y0z$ (daí dizer-se que tais regiões são, respectivamente, projectáveis em $x0z$ ou projectáveis em $y0z$). Quando $Q$ encaixa simultaneamente nos três tipos de regiões aqui referidas e todas as correspondentes versões da proposição em cima são aplicáveis, então o cálculo do integral triplo pode ser feito indiferentemente (pelo menos em teoria) com qualquer um dos integrais iterados completos respectivos.

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