2.2 Integrais duplos e triplos - parte 5

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Na parte 3 obtivemos versões das duas últimas proposições da parte 2, sobre integrabilidade de certo tipo de funções em certo tipo de domínios e técnicas de cálculo dos respectivos integrais.

Os restantes resultados da parte 2 também têm contrapartidas no contexto da integração sobre conjuntos mais gerais do que rectângulos. No caso da comparação de integrais1 e da sua linearidade2, as provas são imediatas. Por exemplo, se $f, g : D \to \mathbb{R}$ são integráveis, então existe rectângulo $R \supset D$ onde $\tilde{f}, \tilde{g}$ são integráveis, logo onde $\tilde{f}+\tilde{g}$ é integrável, verificando-se ainda que

(1)
\begin{align} \int \!\!\! \int_R \tilde{f}+ \tilde{g} \; = \, \int \!\!\! \int_R \tilde{f} \, + \, \int \!\!\! \int_R \tilde{g}; \end{align}

como $\tilde{f}+ \tilde{g} = \widetilde{f+g}$, o resultado pretendido obtém-se imediatamente a partir das definições gerais de integral3 e de função integrável.

Já no caso da integração em subconjuntos e da aditividade do integral, restringir-nos-emos a hipóteses menos gerais, mas que, ainda assim, sejam suficientes para as aplicações. Assim, por exemplo, se uma função limitada for contínua no interior de uma região $D$ de um dos tipos (I ou II), então não só é integrável em $D$ (como observado no Teorema de Fubini), como é integrável em qualquer subconjunto de $D$ de qualquer dos tipos (I ou II). Mas mais importante para as aplicações é a seguinte versão da aditividade do integral:

Proposição (aditividade do integral, revisitada)

Sejam $f : D \to \mathbb{R}$ e $D_1$, $D_2$ duas regiões planas de tipo I ou de tipo II (podendo ser de tipos diferentes) tais que $D = D_1 \cup D_2$ e ${\rm int\,}D_1 \cap {\rm int\,}D_2 = \emptyset$. Se $f$ é integrável em $D_1$ e em $D_2$, então é integrável em $D$ e

(2)
\begin{align} \int \!\!\! \int_{D} f \; = \; \int \!\!\! \int_{D_1} f \, + \, \int \!\!\! \int_{D_2} f. \end{align}

Esta proposição permite, por aplicação sucessiva4, o cálculo do integral de uma função sobre uma região não necessariamente de um dos tipos I ou II, desde que seja possível decompô-la num número finito de regiões $D_1, \ldots, D_n$ de tipos I ou II sobre as quais se saiba integrar a função: assim, após o cálculo dos integrais duplos sobre cada um dos $D_i$, $i=1, \ldots, n$, o integral sobre $D$ é obtido adicionando esses $n$ valores parcelares.


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