2.2 Integrais duplos e triplos - parte 4

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Como acabou de se ver, no caso de funções contínuas em regiões que são simultaneamente de tipo I e de tipo II, a proposição anterior permite, em teoria, que se use qualquer um dos integrais iterados aí indicados. No entanto, na prática um deles poderá ser mais difícil de calcular do que o outro, por isso é aconselhável, em caso de dificuldade em integrar, averiguar sobre a possibilidade de fazer o cálculo trocando a ordem de integração.

Ou pode acontecer que nos seja pedido o cálculo de um integral iterado e seja aconselhável, pelos motivos acabados de descrever, identificar o integral duplo em causa e trocar a ordem na integração iterada.

Exemplo

Uma inspecção sumária ao integral iterado

(1)

\begin{align} \int_0^1 \int_x^1 \sin (\pi y^2) \, dy \, dx \end{align}

aconselha a troca da ordem de integração. No entanto, não faz sentido fazer uma troca pura e simples, sem olhar aos extremos de integração. O que deve ser feito é identificar o domínio de integração em causa no correspondente integral duplo e descrevê-lo de modo a poder fazer-se a integração por ordem inversa, de acordo com o Teorema de Fubini. No caso presente, tal domínio é o triângulo

(2)

\begin{align} \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \in [0,1] \, \wedge \, y \in [x,1] \}, \end{align}

o qual também pode ser descrito como

(3)

\begin{align} \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : y \in [0,1] \, \wedge \, x \in [0,y] \} \end{align}

(se bem que a identificação destes dois conjuntos possa ser feita analiticamente, aconselha-se o leitor a acompanhá-la com uma figura). Como estão garantidas todas as hipóteses do Teorema de Fubini, o cálculo do integral iterado dado pode então ser feito do seguinte modo:

(4)

\begin{eqnarray} \int_0^1 \int_x^1 \sin (\pi y^2) \, dy \, dx & = & \int_0^1 \int_0^y \sin (\pi y^2) \, dx \, dy \\ & = & \int_0^1 \sin (\pi y^2)\, y \, dy \\ & = & -\frac{1}{2\pi} \big[ \cos (\pi y^2) \big]_0^1 \;\; = \;\; \frac{1}{\pi}. \end{eqnarray}

Exemplo

É possível neste momento calcular o volume do sólido delimitado pelo elipsóide considerado em 2 Integração, cuja equação cartesiana (obtida, por exemplo, por eliminação dos parâmetros $\theta$ e $\varphi$ nas equações paramétricas) é

(5)

\begin{align} x^2+\frac{y^2}{4}+z^2=1. \end{align}

Invocando também razões de simetria, tal volume é dado por

(6)

\begin{align} V \; = \; 8 \int_0^1 \int_0^{2\sqrt{1-x^2}} \sqrt{1-x^2-\frac{y^2}{4}} \; dy \; dx \; = \; 8 \int_0^1 \int_0^{2\sqrt{1-x^2}} \sqrt{1-x^2} \; \sqrt{1-\frac{y^2}{4(1-x^2)}} \; dy \; dx. \end{align}

Se no integral interior se fizer a substituição (mudança de variável) definida por $y=2 \sqrt{1-x^2} \sin t$, $t \in [0, \pi /2]$, o volume em causa pode ser calculado da seguinte maneira:

(7)

\begin{eqnarray} V & = & 8 \int_0^1 \int_0^{\pi/2} \sqrt{1-x^2} \, \sqrt{1-\sin^2 t} \; 2 \, \sqrt{1-x^2} \, \cos t \; dt \; dx \\ & = & 16 \int_0^1 (1-x^2) \int_0^{\pi/2} \cos^2 t \; dt \; dx \\ & = & 16 \int_0^1 (1-x^2) \, dx \; \int_0^{\pi/2} \frac{1+\cos (2t)}{2} \; dt \;\; = \;\; \frac{8}{3} \, \pi. \end{eqnarray}

A mesma técnica permite obter o valor $\, \frac{4}{3}\, \pi \, a \, b \, c \,$ para o volume do sólido delimitado por um elipsóide de equação
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$, onde $\, a, b, c \,$ são constantes positivas. No caso particular de $\, a = b = c = r$ obtém-se a conhecida expressão $\, \frac{4}{3}\, \pi \, r^3$ para o volume da esfera sólida dada por $\, x^2 + y^2 + z^2 \leq r^2$.

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