2.2 Integrais duplos e triplos - parte 2

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Proposição (comparação de integrais)

Se $f,g : R \to \mathbb{R}$ são funções integráveis tais que $f(x,y) \leq g(x,y), \forall (x,y) \in R$, então

(1)

\begin{align} \int \!\!\! \int_R f \; \leq \; \int \!\!\! \int_R g. \end{align}

A prova é imediata, atendendo às considerações feitas a seguir à definição de integral na parte 1.

Há várias propriedades dos integrais duplos que se provam como as propriedades correspondentes para integrais simples. Ilustraremos para o caso da linearidade do integral. Outras deixaremos como exercício para o leitor interessado.

Proposição (linearidade do integral)

Sejam $f,g : R \to \mathbb{R}$ funções integráveis no rectângulo $R$. Seja $c \in \mathbb{R}$. Então $f+g$ e $cf$ são integráveis em $R$ e

(2)

\begin{align} \int \!\!\! \int_R f+g \; = \, \int \!\!\! \int_R f \, + \, \int \!\!\! \int_R g \quad \mbox{ e } \quad \int \!\!\! \int_R cf \; = \; c \int \!\!\! \int_R f. \end{align}

ver prova parcial

Dadas as hipóteses, verifica-se que $f+g$ é limitada e que

(3)

\begin{align} \underline{I}(f) = I(f) = \overline{I}(f) \quad \mbox{ e } \quad \underline{I}(g) = I(g) = \overline{I}(g). \end{align}

Em particular, dado um qualquer $\varepsilon >0$, existem partições $P$ e $Q$ de $R$ tais que

(4)

\begin{align} I(f) - \varepsilon \leq \underline{S}(f,P) \leq \overline{S}(f,P) \leq I(f) + \varepsilon \quad \mbox{ e } \quad I(g) - \varepsilon \leq \underline{S}(g,Q) \leq \overline{S}(g,Q) \leq I(g) + \varepsilon. \end{align}

De onde sai que

(5)

\begin{eqnarray} I(f) + I(g) -2\varepsilon & \leq & \underline{S}(f,P) + \underline{S}(g,Q) \\ & \leq & \underline{S}(f,P \cup Q) + \underline{S}(g,P \cup Q) \\ & \leq & \underline{S}(f+g,P \cup Q) \; \leq \; \overline{S}(f+g,P \cup Q) \\ & \leq & \overline{S}(f,P \cup Q) + \overline{S}(g,P \cup Q) \\ & \leq & \overline{S}(f,P) + \overline{S}(g,Q) \; \leq \; I(f) + I(g) + 2\varepsilon, \end{eqnarray}

e, portanto (cf. também observação escondida no final da parte 1),

(6)

\begin{align} I(f) + I(g) -2\varepsilon \leq \underline{I}(f+g) \leq \overline{I}(f+g) \leq I(f) + I(g) + 2\varepsilon. \end{align}

Sendo isto válido para qualquer $\varepsilon > 0$, conclui-se que também é válido para $\varepsilon = 0$, logo $f+g$ é integrável e

(7)

\begin{equation} I(f+g) = I(f) + I(g). \end{equation}

Proposição (integração em subrectângulos)

Seja $f : R \to \mathbb{R}$ integrável. Se $R_1 = [a_1,b_1] \times [c_1,d_1]$ for um subrectângulo de $R$, então $f$ é também integrável em $R_1$ (i.e., $f|_{R_1}$ é integrável).

Proposição (aditividade do integral)

Sejam $f : R \to \mathbb{R}$ e $R_1 = [a_1,b_1] \times [c_1,d_1]$, $R_2 = [a_2,b_2] \times [c_2,d_2]$ dois subrectângulos de $R$ tais que $R = R_1 \cup R_2$ e ${\rm int\,} R_1 \cap {\rm int\,} R_2 = \emptyset$. Se $f$ é integrável em $R_1$ e em $R_2$, então é integrável em $R$ e

(8)

\begin{align} \int \!\!\! \int_R f \; = \; \int \!\!\! \int_{R_1} f \, + \, \int \!\!\! \int_{R_2} f. \end{align}

Proposição (integrabilidade de funções contínuas)

Se $f : R \to \mathbb{R}$ é contínua, então é integrável.

A propriedade anterior (cuja prova, e tal como no caso de integrais simples, tira partido da limitação da função — caso particular do Teorema dos valores extremos — e da sua continuidade uniforme) dá-nos um critério fácil para sabermos se uma função se pode integrar. No entanto, não nos dá nenhuma técnica para o cálculo do respectivo integral. Na propriedade que estabelecemos a seguir, que é reminiscente do princípio de Cavalieri para o cálculo de volumes, abordamos esta última questão. Permite, em certas condições (aplicáveis, por exemplo, ao caso de funções contínuas), a redução do cálculo do integral duplo ao cálculo sucessivo de dois integrais simples, dita integração iterada.

Proposição (Teorema de Fubini)

Seja $f : R = [a,b] \times [c,d] \to \mathbb{R}$ integrável. Suponha-se que, para cada $x \in [a,b]$, o integral simples $A(x) := \int_c^d f(x,y) \, dy$ existe. Então o integral simples $\int_a^b A(x) \, dx$ também existe e, além do mais, coincide com o integral duplo de $f$, i.e.

(9)

\begin{align} \int \!\!\! \int_R f(x,y) \, dx \, dy \; = \; \int_a^b \Big( \int_c^d f(x,y) \, dy \Big) \, dx. \end{align}

ver prova

Seja $P := P_1 \times P_2$ uma qualquer partição de $R$, portanto com $P_1 =\{ x_0, x_1, \ldots , x_{n-1}, x_n \}$ e $P_2 =\{ y_0, y_1, \ldots , y_{m-1}, y_m \}$ partições respectivamente de $[a,b]$ e de $[c,d]$. Pela definição de integral simples,

(10)

\begin{align} \sum_{j=1}^m \inf_{y \in [y_{j-1},y_j]} f(x,y) \, (y_j-y_{j-1}) \; \leq \; A(x) \; \leq \; \sum_{j=1}^m \sup_{y \in [y_{j-1},y_j]} f(x,y) \, (y_j-y_{j-1}), \end{align}

logo a função $A$ é limitada em $[a,b]$ e, usando também as notações $\underline{S}$, $\overline{S}$, $\underline{I}$ e $\overline{I}$ para as somas e integrais de Darboux relativas a funções reais de uma só variável,

(11)

\begin{align} \underline{S}(f,P_1 \times P_2) \leq \underline{S}(A,P_1) \leq \overline{S}(A,P_1) \leq \overline{S}(f,P_1 \times P_2). \end{align}

Daqui sai, por aplicação de supremos ou de ínfimos, sobre $P$ ou sobre $P_1$, e usando, para funções de uma só variável, uma observação correspondente à observação escondida no final da parte 1, que

(12)

\begin{align} \underline{I}(f) \leq \underline{I}(A) \leq \overline{I}(A) \leq \overline{I}(f). \end{align}

Como $f$ é, por hipótese, integrável, então a definição de integral duplo garante-nos que $\underline{I}(f) = \overline{I}(f)$. Conjugando com (12), obtém-se a existência de $\int_a^b A(x) \, dx$ e a conclusão (9) pretendida.

É claro que em (9) se pode também trocar a ordem na integração iterada, desde que se modifique a hipótese adequadamente (formule essa alternativa). Assim, quando ambas as hipóteses se cumprem é indiferente a ordem que se considera na integração iterada, e é nesse caso que a proposição em cima se chama, com mais propriedade, Teorema de Fubini.

Exercício

Use a proposição e observação anteriores para calcular, de duas maneiras diferentes, $\int\!\!\!\int_{[-2,1]\times[0,1]} y(x^3-12x)\, dx\, dy$.

Pode ver a solução em baixo, para uma das ordens possíveis na integração iterada. Se quiser conferir a solução que se obtém no caso de se usar a ordem contrária, faça as substituições necessárias na primeira expressão onde aparece o integral iterado em baixo.

É claro que pode também alterar totalmente os extremos de integração e a função integranda, de modo a conferir soluções em exercícios análogos.

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