2.2 Integrais duplos e triplos - parte 2

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Proposição (comparação de integrais)

Se $f,g : R \to \mathbb{R}$ são funções integráveis tais que $f(x,y) \leq g(x,y), \forall (x,y) \in R$, então

(1)
\begin{align} \int \!\!\! \int_R f \; \leq \; \int \!\!\! \int_R g. \end{align}

A prova é imediata, atendendo às considerações feitas a seguir à definição de integral na parte 1.

Há várias propriedades dos integrais duplos que se provam como as propriedades correspondentes para integrais simples. Ilustraremos para o caso da linearidade do integral. Outras deixaremos como exercício para o leitor interessado.

Proposição (linearidade do integral)

Sejam $f,g : R \to \mathbb{R}$ funções integráveis no rectângulo $R$. Seja $c \in \mathbb{R}$. Então $f+g$ e $cf$ são integráveis em $R$ e

(2)
\begin{align} \int \!\!\! \int_R f+g \; = \, \int \!\!\! \int_R f \, + \, \int \!\!\! \int_R g \quad \mbox{ e } \quad \int \!\!\! \int_R cf \; = \; c \int \!\!\! \int_R f. \end{align}

Proposição (integração em subrectângulos)

Seja $f : R \to \mathbb{R}$ integrável. Se $R_1 = [a_1,b_1] \times [c_1,d_1]$ for um subrectângulo de $R$, então $f$ é também integrável em $R_1$ (i.e., $f|_{R_1}$ é integrável).

Proposição (aditividade do integral)

Sejam $f : R \to \mathbb{R}$ e $R_1 = [a_1,b_1] \times [c_1,d_1]$, $R_2 = [a_2,b_2] \times [c_2,d_2]$ dois subrectângulos de $R$ tais que $R = R_1 \cup R_2$ e ${\rm int\,} R_1 \cap {\rm int\,} R_2 = \emptyset$. Se $f$ é integrável em $R_1$ e em $R_2$, então é integrável em $R$ e

(8)
\begin{align} \int \!\!\! \int_R f \; = \; \int \!\!\! \int_{R_1} f \, + \, \int \!\!\! \int_{R_2} f. \end{align}

Proposição (integrabilidade de funções contínuas)

Se $f : R \to \mathbb{R}$ é contínua, então é integrável.

A propriedade anterior (cuja prova, e tal como no caso de integrais simples, tira partido da limitação da função — caso particular do Teorema dos valores extremos — e da sua continuidade uniforme) dá-nos um critério fácil para sabermos se uma função se pode integrar. No entanto, não nos dá nenhuma técnica para o cálculo do respectivo integral. Na propriedade que estabelecemos a seguir, que é reminiscente do princípio de Cavalieri para o cálculo de volumes, abordamos esta última questão. Permite, em certas condições (aplicáveis, por exemplo, ao caso de funções contínuas), a redução do cálculo do integral duplo ao cálculo sucessivo de dois integrais simples, dita integração iterada.

Proposição (Teorema de Fubini)

Seja $f : R = [a,b] \times [c,d] \to \mathbb{R}$ integrável. Suponha-se que, para cada $x \in [a,b]$, o integral simples $A(x) := \int_c^d f(x,y) \, dy$ existe. Então o integral simples $\int_a^b A(x) \, dx$ também existe e, além do mais, coincide com o integral duplo de $f$, i.e.

(9)
\begin{align} \int \!\!\! \int_R f(x,y) \, dx \, dy \; = \; \int_a^b \Big( \int_c^d f(x,y) \, dy \Big) \, dx. \end{align}

É claro que em (9) se pode também trocar a ordem na integração iterada, desde que se modifique a hipótese adequadamente (formule essa alternativa). Assim, quando ambas as hipóteses se cumprem é indiferente a ordem que se considera na integração iterada, e é nesse caso que a proposição em cima se chama, com mais propriedade, Teorema de Fubini.

Exercício

Use a proposição e observação anteriores para calcular, de duas maneiras diferentes, $\int\!\!\!\int_{[-2,1]\times[0,1]} y(x^3-12x)\, dx\, dy$.

Pode ver a solução em baixo, para uma das ordens possíveis na integração iterada. Se quiser conferir a solução que se obtém no caso de se usar a ordem contrária, faça as substituições necessárias na primeira expressão onde aparece o integral iterado em baixo.

É claro que pode também alterar totalmente os extremos de integração e a função integranda, de modo a conferir soluções em exercícios análogos.


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