2.2 Integrais duplos e triplos - parte 1

página anterior: 2.1 Continuidade de funções de várias variáveis - parte 4

A definição de integral duplo e de integral triplo (e até de outros integrais múltiplos) segue um raciocínio muito semelhante ao que se usa para se definir integral simples (em ambos os casos, ditos no sentido de Riemann). Pelo menos no caso de a integração ser feita sobre rectângulos (no caso de integrais duplos) ou sobre paralelepípedos rectângulos (no caso de integrais triplos). As complicações surgem apenas por ser tecnicamente mais difícil lidar com estes subconjuntos especiais de $\mathbb{R}^2$ e de $\mathbb{R}^3$ do que com intervalos de números reais.

Ilustraremos a ideia apenas para o caso da integração dupla.

Considere-se um rectângulo $R := [a,b] \times [c,d]$. Sejam $P_1 =\{ x_0, x_1, \ldots , x_{n-1}, x_n \}$ e $P_2 =\{ y_0, y_1, \ldots , y_{m-1}, y_m \}$ partições respectivamente de $[a,b]$ e de $[c,d]$ (em particular, $x_0=a$, $x_n=b$, $y_0=c$ e $y_m=d$). Diz-se que o produto cartesiano $P := P_1 \times P_2$ é uma partição de $R$ que decompõe este rectângulo nos $m n$ subrectângulos $R_{ij} := [x_{i-1},x_i] \times [y_{j-1},y_j]$, onde $i=1, \ldots, n$ e $j=1, \ldots, m$.

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Seja $f : R \to \mathbb{R}$ uma função limitada. Denote-se

(1)
\begin{align} m_{ij} := \inf_{R_{ij}} f \quad \mbox{ e } \quad M_{ij} := \sup_{R_{ij}} f . \end{align}

Definem-se as somas de Darboux, respectivamente inferior e superior, por

(2)
\begin{align} \underline{S}(f,P) := \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m m_{ij} (x_i - x_{i-1}) (y_j - y_{j-1}) \quad \mbox{ e } \quad \overline{S}(f,P) := \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m M_{ij} (x_i - x_{i-1}) (y_j - y_{j-1}). \end{align}

Se se escolherem pontos $\xi_{i,j} \in R_{ij}$, $i=1, \ldots, n$, $j=1, \ldots, m$, podem também formar-se as somas de Riemann

(3)
\begin{align} S(f,P,\xi) := \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m f(\xi_{ij}) (x_i - x_{i-1}) (y_j - y_{j-1}). \end{align}

Se suposermos que $f$ assume apenas valores não negativos, é fácil perceber qual é a relação geométrica de cada uma destas somas com o volume $V$ do sólido

(4)
\begin{align} \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : (x,y) \in R \; \wedge \; z \in [0,f(x,y)] \}, \end{align}

que descreveremos como o sólido delimitado inferiormente por $R$ e superiormente pelo gráfico de $f$:

(5)
\begin{align} \underline{S}(f,P) \leq V \leq \overline{S}(f,P), \end{align}

e a soma de Riemann será um valor aproximado de $V$, o que quer que isto signifique (de qualquer modo, é um valor também entre as somas de Darboux).

Isto justifica a seguinte definição de integral para funções reais de duas variáveis:

Definições de integral e de função integrável

Seja $f : R \to \mathbb{R}$ uma função limitada, onde $R$ é um rectângulo em $\mathbb{R}^2$. Se existir um único número real $I$ tal que

(6)
\begin{align} \underline{S}(f,P) \leq I \leq \overline{S}(f,P), \end{align}

independentemente da partição $P$ que se considere para $R$, diz-se que $f$ é integrável (em $R$) e que $I$ é o integral de $f$ (sobre $R$), o qual se denota por

(7)
\begin{align} I(f) \quad \mbox{ ou } \quad \int \!\!\! \int_R f \quad \mbox{ ou } \quad \int \!\!\! \int_R f(x,y) \, dx \, dy . \end{align}

É claro que se $f$ é integrável então, da unicidade de $I$ obedecendo a (6), sai que

(8)
\begin{align} \sup_P \underline{S}(f,P) = \int \!\!\! \int_R f = \inf_P \overline{S}(f,P), \end{align}

onde estes supremo e ínfimo se designam por integrais inferior $\underline{I}(f)$ e superior $\overline{I}(f)$ de Darboux, respectivamente. E reciprocamente: se para uma função limitada $f$ se verifica que os integrais inferior e superior de Darboux coincidem, então as definições de supremo e de ínfimo garantem que a função é integrável e que (8) se verifica.


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