2.1 Continuidade de funções de várias variáveis - parte 4

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Definição de continuidade

Uma função $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ diz-se contínua num ponto $a \in D$, suposto ponto de acumulação de $D$, se

(1)
\begin{align} \lim_{x \to a} f(x) = f(a). \end{align}

Uma formulação equivalente neste contexto (mas que permite estender a pontos isolados a noção de continuidade) é afirmar que $f$ é contínua em $a$ se

(2)
\begin{align} \forall \varepsilon >0, \exists \delta >0 : \forall x \in D, \; \| x-a \| < \delta \, \Rightarrow \, \| f(x)-f(a) \| < \varepsilon. \end{align}

Com esta relação entre limites e continuidade, vários resultados sobre limites dão imediatamente origem a resultados sobre continuidade.

Assim, é válida para funções contínuas uma álgebra correspondente à da proposição sobre álgebra de limites: a soma de funções contínuas num ponto é contínua nesse mesmo ponto, etc..

E também uma função é contínua num ponto se e só se forem contínuas nesse mesmo ponto todas as suas funções coordenadas, como decorre da proposição sobre o limite nas funções coordenadas.

Que a composição $h \circ f$ de função $f$ contínua em $a$ com função $h$ contínua em $f(a)$ seja (estando a composição bem definida) também contínua em $a$ é mais uma consequência directa da formulação (2) do que da proposição sobre o limite da composição, já que a hipótese $x \not= a \Rightarrow f(x) \not= f(a)$, correspondente à que é feita, não é necessária quando se lida com a continuidade na composição.
Mais ainda, é válida, como facilmente se verifica, a seguinte versão dessa proposição:

Proposição (limite da composição, revisitado)

Sejam $f : A \subset \mathbb{R}^n \to B \subset \mathbb{R}^m$ e $h : B \to \mathbb{R}^p$. Sejam $a$ ponto de acumulação de $A$ e $b := \lim_{x \to a} f(x)$ ponto de continuidade de $h$. Então

(3)
\begin{align} \lim_{x \to a} (h \circ f)(x) = h(b). \end{align}

Nesta proposição, não é necessário exigir que $b$ seja ponto de acumulação de $B$: o resultado vale para qualquer ponto de continuidade $b$ de $h$, seja ele de acumulação ou isolado.

Exercício

Mostre que as funções $(x_1, \ldots, x_n) \mapsto x_i^p$, potências de expoente natural $p$ da variável n.º $i$, são contínuas em qualquer ponto de $\mathbb{R}^n$.

Exercício

Seja $P(x,y) = \sum_{i=0}^p \sum_{j=0}^q c_{ij}x^i y^j$, onde os $c_{ij}$ designam constantes reais dadas e $p, q \in \mathbb{N}_0$. Uma tal expressão diz-se um polinómio nas duas variáveis (reais) $x$ e $y$. Mostre que $P$ é uma função contínua em $\mathbb{R}^2$.

Mais à frente, no capítulo 5, o seguinte resultado envolvendo funções contínuas sobre determinado tipo de domínios será fundamental. Fica desde já enunciado.

Proposição (Teorema dos valores extremos)

Se $D \subset \mathbb{R}^n$ é limitado e fechado e $f : D \to \mathbb{R}$ é contínua, então $f$ atinge o mínimo e o máximo no seu domínio, i.e.,

(4)
\begin{align} \exists c, d \in D: \forall x \in D, \;\; f(c) \leq f(x) \leq f(d). \end{align}

Pelo menos no caso em que $D = [a_1, b_1] \times \ldots \times [a_n, b_n]$, e se bem que tecnicamente mais complicada, a prova pode fazer-se como em propriedade análoga no contexto de funções de uma só variável. E o mesmo se pode dizer acerca da prova da seguinte propriedade, que nos diz que, sobre determinado tipo de domínios, as funções contínuas obedecem afinal a uma propriedade um pouco mais forte do que a mera continuidade, digamos, pontual.

Proposição (sobre continuidade uniforme)

Se $D \subset \mathbb{R}^n$ é limitado e fechado e $f : D \to \mathbb{R}$ é contínua, então é uniformemente contínua, i.e.,

(5)
\begin{align} \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall x,y \in D, \; \| x-y \| < \delta \, \Rightarrow \, | f(x)-f(y) | < \varepsilon. \end{align}

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