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Definição de continuidade
Uma função $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ diz-se contínua num ponto $a \in D$, suposto ponto de acumulação de $D$, se
(1)Uma formulação equivalente neste contexto (mas que permite estender a pontos isolados a noção de continuidade) é afirmar que $f$ é contínua em $a$ se
(2)Com esta relação entre limites e continuidade, vários resultados sobre limites dão imediatamente origem a resultados sobre continuidade.
Assim, é válida para funções contínuas uma álgebra correspondente à da proposição sobre álgebra de limites: a soma de funções contínuas num ponto é contínua nesse mesmo ponto, etc..
E também uma função é contínua num ponto se e só se forem contínuas nesse mesmo ponto todas as suas funções coordenadas, como decorre da proposição sobre o limite nas funções coordenadas.
Que a composição $h \circ f$ de função $f$ contínua em $a$ com função $h$ contínua em $f(a)$ seja (estando a composição bem definida) também contínua em $a$ é mais uma consequência directa da formulação (2) do que da proposição sobre o limite da composição, já que a hipótese $x \not= a \Rightarrow f(x) \not= f(a)$, correspondente à que é aí feita, não é necessária quando se lida com a continuidade na composição.
Mais ainda, é válida, como facilmente se verifica, a seguinte versão dessa proposição:
Proposição (limite da composição, revisitado)
Sejam $f : A \subset \mathbb{R}^n \to B \subset \mathbb{R}^m$ e $h : B \to \mathbb{R}^p$. Sejam $a$ ponto de acumulação de $A$ e $b := \lim_{x \to a} f(x)$ ponto de continuidade de $h$. Então
(3)Nesta proposição, não é necessário exigir que $b$ seja ponto de acumulação de $B$: o resultado vale para qualquer ponto de continuidade $b$ de $h$, seja ele de acumulação ou isolado.
Exercício
Mostre que as funções $(x_1, \ldots, x_n) \mapsto x_i^p$, potências de expoente natural $p$ da variável n.º $i$, são contínuas em qualquer ponto de $\mathbb{R}^n$.
Exercício
Seja $P(x,y) = \sum_{i=0}^p \sum_{j=0}^q c_{ij}x^i y^j$, onde os $c_{ij}$ designam constantes reais dadas e $p, q \in \mathbb{N}_0$. Uma tal expressão diz-se um polinómio nas duas variáveis (reais) $x$ e $y$. Mostre que $P$ é uma função contínua em $\mathbb{R}^2$.
Mais à frente, no capítulo 5, o seguinte resultado envolvendo funções contínuas sobre determinado tipo de domínios será fundamental. Fica desde já enunciado.
Proposição (Teorema dos valores extremos)
Se $D \subset \mathbb{R}^n$ é limitado e fechado e $f : D \to \mathbb{R}$ é contínua, então $f$ atinge o mínimo e o máximo no seu domínio, i.e.,
(4)Pelo menos no caso em que $D = [a_1, b_1] \times \ldots \times [a_n, b_n]$, e se bem que tecnicamente mais complicada, a prova pode fazer-se como em propriedade análoga no contexto de funções de uma só variável. E o mesmo se pode dizer acerca da prova da seguinte propriedade, que nos diz que, sobre determinado tipo de domínios, as funções contínuas obedecem afinal a uma propriedade um pouco mais forte do que a mera continuidade, digamos, pontual.
Proposição (sobre continuidade uniforme)
Se $D \subset \mathbb{R}^n$ é limitado e fechado e $f : D \to \mathbb{R}$ é contínua, então é uniformemente contínua, i.e.,
(5)Seguir para 2.2 Integrais duplos e triplos ou adicionar um comentário em baixo.
No contexto da proposição da composição do limite, revisitado referido em cima Pode-se afirmar que
lim ( gof ) (x) = g ( lim f(x) ) ?
x->a x->a
Peço desculpa pela forma como escrevi, mas ainda não sei bem utilizar as funções que nos são disponíveis.
Nota: A segunda vez que aparece no comentário 'x -> a' é relativo ao segundo limite referido na igualdade.
Suponho que o teu $g$ seja o $h$ da proposição referida. De resto, é como dizes, até porque no enunciado se diz que o $b$ é o $\lim_{x \to a} f(x)$.
Mas talvez seja mais interessante olhar para $h(b)$ como sendo $\lim_{y \to b} h(y)$, o que é verdade devido à hipótese de continuidade de $h$ em $b$. E desse modo compara-se melhor o resultado dessa proposição com o da outra proposição também sobre o limite da composição.